Фамилия Абесламидзе образована от мужского имени Абеслам — мусульманского аналога библейского имени Авессалом, которое переводится как «отец мира» (от древнееврейского «ав» — отец и «шалом» — мир). В исламской традиции это имя получило распространение через Коран и адаптировалось в тюркских и кавказских языках, утратив начальный гласный «а» в корне.

Фамилию сформировал грузинский патронимический суффикс -идзе, который буквально означает «сын». В дословном переводе Абесламидзе — «сын Абеслама». Такая модель образования фамилий — одна из самых распространённых в Западной и Центральной Грузии (регионы Имеретия, Гурия, Самегрело), где суффикс -идзе вытеснил более древний -дзе. В отличие от восточногрузинского -швили («дитя»), -идзе указывает на более архаичный пласт фамилий, связанный с родоплеменными отношениями.

Имя Абеслам, в свою очередь, встречается не только у грузин-мусульман (в Аджарии и Месхетии), но и у народов Северного Кавказа, что делает фамилию Абесламидзе маркером исторических контактов между грузинскими и тюрко-исламскими культурами. В дореволюционных метрических книгах фамилия фиксируется в основном в Кутаисской губернии, где проживало грузиноязычное мусульманское население.

Носители фамилии Абесламидзе почти не встречаются за пределами Грузии — это редкая, территориально привязанная фамилия, сохранившая память о дохристианском или, точнее, о межконфессиональном имени, которое объединило ветхозаветный корень и кавказскую патронимическую традицию.