Фамилия Абиатари — редкая и необычная для русского уха. Её происхождение почти наверняка связано с итальянским языком, а точнее — с итальянским словом abate (аббат, настоятель монастыря). Основа Abiat- — это вариант или диалектная форма того же корня. Суффикс -ari в итальянских фамилиях указывает на профессию или занятие: abiatari буквально значит «аббатский», то есть человек, принадлежащий к аббатству, служащий при аббате, а возможно, и сам мелкий церковный чиновник или управляющий монастырским хозяйством. Так что перед нами типичная итальянская профессиональная фамилия, по модели образования похожая, скажем, на Notari (нотариус) или Cavallari (конюх).

В русском контексте фамилия Абиатари — почти наверняка пришлая, результат миграции. В дореволюционных метрических книгах и переписях населения она не встречается; нет её и в классических словарях русских фамилий (Унбегауна, Никонова, Веселовского). Скорее всего, носители этой фамилии в России — потомки итальянцев, переселившихся сюда в XIX — начале XX века: архитекторов, строителей, художников, торговцев. Итальянские общины были в Петербурге, Одессе, Москве, и фамилия могла закрепиться именно там.

Интересная деталь: в самой Италии фамилия Abiatari встречается нечасто и сосредоточена в основном в северных регионах — Ломбардии и Венето. Это наводит на мысль, что предки носителя фамилии могли быть родом из окрестностей Милана или Вероны. В русской транскрипции ударение, скорее всего, падает на последний слог — Абиатари́, по аналогии с итальянским произношением.

Словообразовательная модель проста и прозрачна: основа abiat- + суффикс принадлежности -ari. Никаких русских патронимических суффиксов (-ов, -ев, -ин) тут нет, что сразу выдает иноязычное происхождение. Если вы носитель этой фамилии, то почти с полной уверенностью можете считать, что ваши предки были выходцами с Апеннинского полуострова и, судя по прозвищу, имели отношение к церковной или монастырской среде — не обязательно как священники, скорее как служащие, управляющие или ремесленники при монастыре.