Фамилия Абиатари звучит не по-русски — и это первое, что бросается в глаза. Её происхождение почти наверняка итальянское, а разобрать её можно без гаданий: в основе лежит итальянское слово abate (аббат, настоятель монастыря). Основа Abiat- — это диалектный или фонетический вариант того же корня. Суффикс -ari в итальянских фамилиях — типичный профессиональный показатель, он указывает на занятие или принадлежность. Abiatari буквально значит «аббатский»: человек, который служит при аббате, работает на монастырь, управляет хозяйством или занимает мелкую церковную должность. По той же модели построены фамилии Notari (нотариус) или Cavallari (конюх). Так что перед нами профессиональная фамилия, и её значение прозрачно.

В русском контексте Абиатари — пришлая. В дореволюционных метрических книгах и переписях она не встречается; нет её в словарях русских фамилий Унбегауна, Никонова или Веселовского. Это сразу говорит о том, что фамилия не формировалась на русской почве. Скорее всего, её привезли с собой итальянцы, переселившиеся в Россию в XIX — начале XX века: архитекторы, строители, художники, торговцы. Итальянские общины были в Петербурге, Одессе, Москве, и фамилия могла закрепиться именно там.

Интересно, что и в самой Италии фамилия Abiatari редкая и встречается в основном в северных регионах — Ломбардии и Венето. Это наводит на мысль, что предки носителя могли быть родом из окрестностей Милана или Вероны. В русской транскрипции ударение, скорее всего, падает на последний слог — Абиатари́, по аналогии с итальянским произношением.

Словообразовательная модель проста: основа abiat- плюс суффикс принадлежности -ari. Никаких русских патронимических суффиксов (-ов, -ев, -ин) тут нет, что сразу выдаёт иноязычное происхождение. Если вы носитель этой фамилии, то почти с полной уверенностью можете считать, что ваши предки были выходцами с Апеннинского полуострова и, судя по прозвищу, имели отношение к церковной или монастырской среде — не обязательно как священники, скорее как служащие, управляющие или ремесленники при монастыре.