Фамилия Ачени — редкая и нестандартная для русского слуха. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ин или -ский, которые сразу указывают на отчество или принадлежность. Это подсказывает, что перед нами, скорее всего, фамилия нерусского происхождения, либо искусственно созданная или сильно искажённая при записи.

Самая вероятная версия — грузинские корни. В грузинском языке фамилии часто оканчиваются на -и, а основа может быть связана с именем или прозвищем. Ачени (აჩენი) может восходить к грузинскому слову «ачен» — «рождающий», «производящий», либо к топониму Ачени — селу в регионе Рача. В таком случае фамилия указывает на выходца из этого села или на род занятий предка. Грузинские фамилии нередко образовывались от названий местности, и суффикс -ени как раз характерен для рачинских фамилий (сравните: Лобжанидзе, Чиковани — другой регион, а -ени встречается именно в Рача-Лечхуми).

Менее вероятная, но возможная версия — связь с армянской фамилией Аченян, которая могла сократиться или русифицироваться до Ачени при переезде в русскоязычную среду. В армянском языке суффикс -ян означает принадлежность, а основа «Ач» может быть вариантом имени Ача (уменьшительное от Ачатур или от названия города Ачинск, что маловероятно в историческом контексте).

Третья, совсем редкая гипотеза — фамилия могла возникнуть как прозвище в среде старообрядцев или казаков, где фиксировали «по уму»: от диалектного глагола «ачить» — кричать, звать, шуметь. Но это лишь догадка, не подтверждённая словарями.

В любом случае, фамилия Ачени — яркий пример того, как при миграции и смене языка фамилия теряет родовой суффикс и приобретает лаконичную форму. Если ваши предки родом с Кавказа, особенно из Грузии, — это самый прямой след. В центральной России эта фамилия практически не встречается, что подтверждает её локальное происхождение.