Фамилия Адыгбай — редкий пример фамилии, которая почти целиком состоит из корня, без типичного русского суффикса принадлежности (-ов, -ев, -ин). Это указывает на её позднее происхождение или на то, что она сохранилась в форме, близкой к исходному тюркскому имени. В русском языке фамилии без суффикса — большая редкость, чаще всего они встречаются у народов Северного Кавказа, в среде казахов или ногайцев, и Адыгбай, скорее всего, относится именно к этому пласту.

Основа фамилии — составное тюркское имя. Первая часть «адыг» может восходить к этнониму «адыги» (самоназвание черкесов и родственных народов), либо к тюркскому слову «адыг» — «медведь» (в некоторых диалектах). Вторая часть «бай» — это распространённый тюркский титул, означающий «богатый», «господин», «хозяин». Таким образом, имя Адыгбай могло означать либо «адыгский богатырь/господин», либо «медведь-богатырь». Второй вариант (медведь) встречается в тюркской ономастике чаще: медведь был тотемным зверем, имя давали как оберег, чтобы ребёнок рос сильным.

Географически фамилия Адыгбай почти не встречается в центральной России. Её носители сосредоточены в Кабардино-Балкарии, Карачаево-Черкесии, а также среди казахов и башкир. В русских переписных книгах XVII–XIX веков такая фамилия не фиксируется — это значит, что предки носителя получили фамилию не от помещика и не по отцу с русским суффиксом, а сохранили родовое имя в качестве фамилии при советской паспортизации в 1920–1930-х годах.

Словообразовательная модель проста: к основе Адыгбай не добавили ни суффикса, ни окончания. Это так называемая «застывшая» форма имени, которая стала фамилией. В русском языке она склоняется как существительное мужского рода на -й (Адыгбая, Адыгбаю), хотя исторически это имя, а не фамилия в привычном понимании.

Известных исторических деятелей с этой фамилией в открытых источниках нет — она осталась в кругу локальных родов. Если ваш предок носил имя Адыгбай, он, скорее всего, был скотоводом или воином, а сама фамилия указывает на связь с кавказским или степным миром, где имя давали по силе и статусу.