Фамилия Аджай в русском контексте — явление редкое и нетипичное. Она не вписывается в привычные славянские словообразовательные модели с суффиксами -ов, -ин или -ский. Её происхождение напрямую связано с Индией: Аджай — это распространённое в хинди, маратхи и других языках Северной Индии мужское имя, означающее «непобедимый» или «тот, кого нельзя победить». В санскрите корень «аджа» (अज) связан с козлом или с рождением, но в данном случае имя восходит к «аджая» — «непобедимость», один из эпитетов бога Вишну.

В России и русскоязычных странах фамилия Аджай могла появиться несколькими путями. Самый вероятный — через браки или миграцию: индийские студенты, специалисты (например, врачи или инженеры) или предприниматели, осевшие в СССР или постсоветском пространстве, передавали своё имя как фамилию детям. Поскольку в индийской традиции фамилии часто отсутствуют, а имя выполняет функцию идентификатора, при оформлении документов в России имя Аджай фиксировалось как фамилия. Второй вариант — транслитерация фамилии из Южной Азии, где Аджай может быть родовым именем или частью сложной составной фамилии (например, Аджай-Сингх).

Словообразовательно фамилия стоит особняком: в ней нет ни русского патронимического суффикса, ни окончания, типичного для фамилий. Окончание —«ай» не является формантом в русской ономастике, что сразу выдаёт её иноязычное происхождение. По этой же причине фамилия не склоняется по падежам в мужском роде, а в женском может оставаться неизменной.

Географически носители фамилии Аджай в России и странах СНГ встречаются редко, единично — в основном в крупных городах, где есть индийская диаспора (Москва, Санкт-Петербург, Новосибирск). В самой Индии это имя настолько популярно, что его носят миллионы людей, но как фамилия оно там почти не употребляется — скорее как второе имя или часть полного имени. Таким образом, для русского читателя фамилия Аджай — это не наследие крестьянского прозвища или ремесла, а живой след культурного обмена, закрепившийся в документах благодаря особенностям миграционного учёта.