Фамилия Аеслимудак — один из тех редких случаев, когда написание почти полностью выдаёт происхождение. Она не укладывается в привычные для русских фамилий модели на -ов, -ин или -ский. Её основа, скорее всего, тюркская или арабо-тюркская, а суффикс -ак типичен для прозвищной и фамильной модели в тюркских языках (сравните: Таштак, Калтак, Баймурак).

Если разбить слово на части, то «Аес» или «Айес» может восходить к арабскому «айш» (жизнь) или тюркскому «ай» (луна, месяц) с добавлением усилительной частицы. «Ли» — это тюркский аффикс обладания, означающий «имеющий что-то». «Мудак» — самое спорное звено. В тюркских языках есть слово «мудак» или «мутак» в значении «рог», «выступ», «угол», а также «муда» — «награда», «плата». Таким образом, вся конструкция могла означать «имеющий лунный рог» или «получивший награду жизни» — скорее всего, прозвище, данное человеку по внешней примете или по событию.

Вторая, менее вероятная версия — что фамилия искусственная, возникшая при переписи населения в XIX — начале XX века, когда чиновники на слух записывали сложное местное имя или прозвище, не вникая в смысл. Но характерный тюркский суффиксальный ряд и отсутствие русских падежных окончаний говорят в пользу естественного, народного происхождения.

Географически фамилия с таким корнем могла закрепиться в среде татар, башкир, казахов или народов Кавказа, где распространены составные имена и прозвища с элементом «ай». Носители фамилии, скорее всего, происходят из крестьян или ремесленников — тюркские прозвища редко давали дворянам, а суффикс -ак часто указывал на человека, занятого в хозяйстве или отличавшегося какой-то чертой.

В русском языке фамилия почти не склоняется по падежам (как и многие заимствованные фамилии на согласный), что дополнительно подчёркивает её иноязычную основу. Однокоренных фамилий в русской среде нет — это уникальный случай, когда прозвище не переделали под стандартную модель, а оставили в исходном виде.