Фамилия Агбматриков — редчайший случай в русской ономастике. В ней необычно всё: она явно не славянского происхождения, но оформлена по русской модели с суффиксом -ов. Это значит, что предок носителя фамилии получил прозвище или имя Агбматрик, а его потомки стали Агбматриковыми.

Разберём основу. Первая часть — «Агба» — скорее всего, восходит к тюркским или кавказским языкам. В тюркских языках (например, в татарском, башкирском, азербайджанском) «аг» (ак) означает «белый», а «ба» — многозначный корень, часто связанный с отцом, старшим или началом. В осетинском языке «аг» может значить «злой», «гневный», а «ба» — суффикс или часть сложного слова. Вторая часть — «матрик» — выглядит как уменьшительная или пренебрежительная форма от имени Матрёна (Мотря, Матря). В русских говорах «матрик» могли называть человека, похожего на Матрёну — ворчливого, домовитого или просто носящего это женское имя в качестве прозвища. Получается, что Агбматрик — это сложное образование: либо «белый Матрёна» (прозвище человека со светлыми волосами или бледной кожей, которого в шутку называли женским именем), либо «гневный Матрёна» (злой, но с оттенком иронии). Возможен и третий вариант: фамилия могла возникнуть на стыке культур — тюркское «агба» (старший брат, аксакал) и русское «матрик» (от Матрёна) слились в одно прозвище для уважаемого, но ворчливого старика.

География фамилии крайне узкая. Агбматриковы встречаются в единичных случаях, в основном в документах конца XIX — начала XX века на Северном Кавказе, в Ставропольском крае и в Закавказье. Это регион, где веками жили рядом русские, тюрки, осетины, армяне и греки. Такие смешанные фамилии — живые свидетели межэтнических браков или усвоения русской модели фамилии выходцами из других народов. Вероятнее всего, основатель рода был человеком, получившим прозвище в многоязычной среде, а его дети уже записались как Агбматриковы по отцу.

Словообразовательная модель здесь классическая для русских фамилий: корень (Агбматрик) плюс патронимический суффикс -ов (чей? — Агбматриков). Но сам корень — нестандартный. В отличие от фамилий вроде Агбалаев (от тюркского «агбала» — белое дитя) или Матриков (от Матрёны), Агбматриков объединяет два разных языковых пласта. Это делает фамилию уникальной: она не входит ни в один стандартный словарь русских фамилий, и её носители, скорее всего, могут проследить свою родословную до конкретного местечка на Кавказе или в Закавказье, где и возникла эта необычная конструкция.