Фамилия Агрыкакауи — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает со звучанием исходного прозвища, причём прозвища не русского, а, скорее всего, адыгского или абхазо-адыгского происхождения. Запись «Агрыкакауи» явно передаёт форму, где основа «Агрыка» — это личное имя или прозвище, а «-кауи» — типичный для адыгских фамилий суффикс, указывающий на принадлежность к роду или дому. В адыгской ономастике суффикс «-куа» (или «-ко», «-хуэ») означает «сын», «потомок», а в русской передаче XIX — начала XX века он часто превращался в «-кауи» или «-каев». Таким образом, Агрыкакауи — это «потомок Агрыки» или «из рода Агрыка».

Само имя Агрыка, скорее всего, восходит к адыгскому «агъыр» (гордый, высокомерный) или к тюркскому «агры» (боль, болезнь, горе). В первом случае прозвище могло характеризовать человека с независимым нравом, во втором — указывать на обстоятельства рождения (например, ребёнок, родившийся в трудное время). Встречаются и варианты сближения с адыгским «агъуэ» (злой, сердитый), что даёт схожую семантику. Учитывая, что фамилия зафиксирована в основном у черкесов (адыгов) и в среде абазин, версия с «гордым» или «сердитым» выглядит предпочтительнее.

Географически фамилия Агрыкакауи привязана к Северному Кавказу — в первую очередь к Кабардино-Балкарии и Карачаево-Черкесии, а также к адыгской диаспоре в Турции и Сирии. В русских документах XIX века, при переписях горских народов, подобные фамилии часто искажались до неузнаваемости, но Агрыкакауи, напротив, записана почти фонетически точно — это редкая удача для этимолога.

Суффикс «-кауи» указывает на то, что фамилия сформировалась в среде, где сохранялась родовая структура: каждый род (лъэпкъ) имел своего основателя, и его имя становилось фамилией для всех потомков. В отличие от русских фамилий на «-ов» и «-ин», здесь нет указания на отчество или профессию — только на родоначальника. Поэтому предки носителя фамилии Агрыкакауи, скорее всего, были свободными общинниками (тфокотлями) или узденями (дворянами) в адыгском обществе, а сам основатель рода носил прозвище Агрыка — «Гордый» или «Сердитый».

В современной России фамилия остаётся крайне редкой, что делает её ценной для изучения локальной ономастики. Если вы встретили её в паспорте или документах, это почти наверняка указывает на черкесские или абазинские корни, причём на достаточно архаичную ветвь рода, сохранившую исходную форму без русификации.