Фамилия Агйченков — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Начинаем разбор с самого заметного элемента: суффикса -енков. В русских фамилиях привычнее видеть окончания -ов или -ин, но модель на -енков (и её исходная форма -енко) выдает южнорусские и украинские корни. Такие фамилии образовывали от имени отца: сначала появлялось отчество с суффиксом -енко («сын такого-то»), а затем, при русификации, к нему добавляли -в. Агйченков буквально означает «внук» или «сын» человека по прозвищу или имени Агйченко, которое, в свою очередь, произошло от основы Агй- .

Самая сложная часть — основа «Агй-». В русском языке нет слова с таким корнем. Вероятнее всего, это искажённая или диалектная форма имени Аггей (от древнееврейского Хаггай — «праздничный», «рождённый в праздник»). В народной речи имя Аггей нередко произносили как Агей, и вполне могла возникнуть уменьшительная форма Агейка, а от неё — Агейченко. Звук «й» в фамилии (Агйченков вместо ожидаемого Агеченков) — это либо особенность местного говора (так называемая йотация, когда звук «г» смягчали и произносили почти как «гь»), либо запись фамилии при паспортизации: писарь услышал мягкое «г» и передал его как «гй».

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркским словом «агы» (старший брат, дядя, господин) или «ага» (начальник). В таком случае прозвище Агй могло означать «почтенный человек», «старший», а фамилия указывала бы на потомка такого уважаемого человека. Однако для русского фамильного суффикса -енков такая основа — редкость, и версия с именем Аггей выглядит убедительнее.

Таким образом, предок носителя фамилии Агйченков, скорее всего, был выходцем из южнорусских или украинских областей (например, из Курской, Белгородской, Воронежской губерний) и носил имя Агей или уменьшительное Агейка. Фамилия закрепилась в той форме, в какой её записал местный писарь, не всегда грамотный, но старательный. Никаких сведений о дворянском происхождении или принадлежности к известным родам у этой фамилии нет — это классическая «патронимическая» фамилия, образованная от имени или прозвища предка.