Фамилия Агзибегян — один из тех случаев, когда написание обманчиво. На слух она кажется тюркской или кавказской, но на деле перед нами чисто армянская фамилия, и ключ к её разгадке — в суффиксе. Окончание -ян (в старой орфографии -янц) указывает на принадлежность к роду, то есть «из семьи такого-то». Это самый массовый способ образования армянских фамилий, особенно в Западной Армении и у диаспоры.

Основа фамилии — Агзибег. Здесь скрыто сложное слово: «агзи» (арм. ակզի) — это «козёл», а «бег» — тюркский титул, означающий «господин», «князь», «уважаемый человек». В армянской среде титул «бек» часто добавляли к прозвищам, указывая на владельца или хозяина чего-либо. Таким образом, Агзибег — это прозвище человека, которого называли «козлиным беком» или «владельцем козлов». Вероятно, предок держал большое стадо коз или пас чужих коз, но приобрёл уважение в общине, и прозвище закрепилось за ним с оттенком иронии или, наоборот, почёта.

Встречается и другое прочтение: «агзи» могло быть искажением от «акзи» (арм. ակնզի) — «глазастый», но эта версия менее вероятна, так как в армономастиконе сочетание «агзи» в значении «козёл» встречается в ряде прозвищ (например, Агзоян, Агзикян). Тюркский элемент «бег» говорит о том, что фамилия сложилась в среде, где армянское население жило под влиянием Османской империи или Персии — скорее всего, в исторической Западной Армении (современная восточная Турция) или в регионе Васпуракана.

Носители фамилии Агзибегян — это потомки человека, чьё прозвище указывало на род занятий (козоводство) и социальный статус (бек). В отличие от многих армянских фамилий на -ян, которые образованы от личных имён (например, Петросян), здесь основа — описательное прозвище, что делает фамилию редкой и узколокальной. В современной России и Армении она встречается нечасто, в основном у потомков армянских беженцев из Турции.