Фамилия Акайчикова — редкий случай, когда географическая привязка перевешивает любые попытки вывести корень из тюркских или кавказских языков. Перед нами почти наверняка уральская фамилия, и её основа — не имя, а топоним.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ов-/-ев- (в женском варианте -ова) указывает на принадлежность. Но в данном случае исходное слово не имя человека, а название реки. Река Акай — левый приток Тобола в Курганской области, на границе с Казахстаном. В бассейне этой реки и сейчас стоит несколько деревень с корнем «Акай» в названии. Человек, живший на Акае или вышедший оттуда, получал прозвище Акайчиков — то есть «живущий на Акае» или «пришедший с Акая». Суффикс -чик- здесь не уменьшительный, а указательный на местность (сравните: москвич — москвичов, костромич — костромичов). То есть Акайчиков — это тот, кто с Акая.

Версия с тюркским именем Акай (от «ак» — белый, чистый) возможна, но менее убедительна. Во-первых, суффикс -чик- редко присоединяют к личным именам в русских фамилиях — обычно берут -ов/-ин. Во-вторых, по документам переписей XVIII–XIX веков основная масса Акайчиковых сосредоточена именно в Курганском и Челябинском уездах, то есть вокруг той самой реки Акай. Если бы корень был личным именем, фамилия встречалась бы шире, а не замыкалась на один регион.

По сословной принадлежности — скорее всего, государственные крестьяне или казаки. Урал и Зауралье в XVII–XIX веках заселяли в основном свободные крестьяне, бежавшие от помещиков, и служилые люди. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Коротко: Акайчикова — «та, что с реки Акай». Фамилия уральская, образована от названия реки через прозвище по месту жительства. Редкая, локальная, без сложных этимологических споров.