Фамилия Акчермышев — редкий случай, где тюркская основа и русский суффикс скрестились в одной фамилии, и это сразу выдаёт историю её появления. Начинаем разбор не с корня, а с суффикса -ев. Он вторичен: если бы основа оканчивалась на твёрдый согласный, мы бы видели -ов, но здесь — «ш», поэтому -ев. Такая модель типична для русских фамилий, переделанных из тюркских имён и прозвищ (сравните Алымов, Батырев). Суффикс — чисто русский, а вот корень — тюркский.

Основа — «Акчермыш». Это составное тюркское имя. «Ак» означает «белый» или «чистый», а «чермыш» (или «чермиш») — «смелый», «отважный», «воин». В тюркской ономастике «ак» часто усиливает положительное качество: Акчермыш — «белый (чистый) смельчак» или «светлый воин». Такие имена давали мальчикам, желая им доблести и удачи. Никакого отношения к русскому диалектному слову «чермыш» (растение или насекомое) эта фамилия не имеет — корень явно тюркский. Попытка связать «ак» с русским «акать» (говорить на «а») — натяжка, потому что ударение в фамилии падает на второй слог (Акчермы́шев), а не на первый.

Географически фамилия почти наверняка привязана к зонам активного русско-тюркского контакта: Поволжье, Урал, южные степи. Предки носителя могли быть выходцами из татарской, башкирской или ногайской среды, которые перешли в русское сословие (служилые татары, ясачные крестьяне) и получили фамилию по имени или прозвищу родоначальника. В документах XVI–XVII веков нередки случаи, когда татарский мурза или рядовой воин звался Акчермыш, а его дети записывались уже как Акчермышевы.

В современной России фамилия крайне редка. Её можно встретить в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской области и у потомков татарской диаспоры в городах. Если вы носите эту фамилию, ваш предок, скорее всего, был человеком с ярким прозвищем, и фамилия сохранила память о его отваге или чистоте намерений — в буквальном, тюркском смысле.