Фамилия Аксинкук — редкий пример того, как восточнославянская основа получила польский или украинский суффикс. В её основе лежит уменьшительно-ласкательная форма крестильного мужского имени Авксентий — Аксиня. Само имя Авксентий пришло из древнегреческого языка и означает «растущий», «возрастающий». В народной среде длинное и непривычное для славянского уха имя быстро сократили до усечённой формы Аксиня, которая и дала начало прозвищу.

Фамилию образовали по распространённой в западных регионах модели: к основе «Аксин» добавили суффикс -ук/-юк. В польском и украинском языках этот суффикс (часто в форме -cuk, -czuk) обозначал принадлежность к роду: Аксинкук — буквально «сын Аксини» или «потомок Аксини». Такие фамилии массово появлялись в XVI–XVII веках на землях Речи Посполитой, особенно на территории современной Западной Украины, Беларуси и юго-восточной Польши.

Написание Аксинкук (Aksincuk) с буквой «ц» в суффиксе — не случайность. В польской орфографии сочетание -c- перед гласным передаёт твёрдый звук [ц], поэтому в русской передаче мы видим «кук», а не «чук». Это указывает, что фамилия фиксировалась в документах именно в латинской записи, а затем была переписана кириллицей по правилам практической транскрипции.

Таким образом, Аксинкук — фамилия-патроним, которая говорит о происхождении носителя из семьи человека по имени Авксентий, в быту звавшегося Аксиней. Географически она тяготеет к западнорусским землям, где переплелись славянские именословы и польские словообразовательные модели.