Фамилия Актырская — редкий случай, когда географическая основа почти наверняка перевешивает любую другую версию. Её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса: -ск- в сочетании с окончанием -ая — это классическая модель русских фамилий, указывающих на связь с местом. В ономастике такие формы чаще всего закреплялись за выходцами из конкретного селения, реже — за владельцами усадьбы или поместья. Мужской вариант Актырский, соответственно, носил бы тот, кто оттуда родом, а женская форма закрепилась за его женой или дочерью.

Корень «Актыр» прямо отсылает к тюркскому топониму. Самое очевидное соответствие — река Актыр (она же Ахтырка) в бассейне Днепра, на которой стоит город Ахтырка в Сумской области Украины. В исторических документах встречается вариант «Актырка» — именно так название звучало до адаптации в русском языке. Житель этого города или окрестностей получал прозвище «Актырский», которое со временем закрепилось как фамилия.

Лингвистически возможна и другая версия: от тюркского личного имени Ахтыр (Актыр), восходящего к словам со значением «белый, чистый». Но в таком случае мы ожидали бы фамилию Актыров или Актырин, а не на -ский. Форма на -ская типична для дворянских и церковных фамилий, образованных от географических названий, поэтому версия с Ахтыркой убедительнее. Если бы имя было основой, суффикс -ск- использовали бы редко — он скорее укажет на принадлежность к местности, чем к человеку.

Фамилия явно не массовая. В дореволюционных списках и современных базах она встречается эпизодически, что подтверждает её локальное происхождение. Носители фамилии Актырская, скорее всего, имеют корни в Слобожанщине — исторической области на границе России и Украины, где Ахтырка была заметным казачьим и торговым центром. В XIX веке фамилия могла закрепиться за семьями мещан или духовенства, переехавшими из этого региона в другие губернии.

С точки зрения словообразования фамилия прозрачна: основа «Актыр-» плюс суффикс -ск- и окончание -ая. Варианты написания с «х» (Ахтырская) — результат поздней орфографической унификации, но в метрических книгах XVIII–XIX веков можно встретить оба написания. Если ваши предки носили фамилию Актырская, стоит искать их следы в архивах Харьковской, Полтавской или Курской губерний — именно там проходили основные пути миграции населения из-под Ахтырки.