Фамилия Алеиконов — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а, скорее всего, искажённое или диалектное прозвище. Если отбросить типичный русский фамильный суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?»), остаётся корень Алеикон-. Самый правдоподобный путь происхождения — от слова «алейка» или «алея». В южнорусских говорах, особенно на территории бывшего Орловского наместничества и Воронежской губернии, «алейкой» называли маслобойню или сам процесс отжима растительного масла (от «алей» — постное масло, заимствование из тюркских языков через украинский). Человек, работавший на маслобойне или торговавший маслом, мог получить прозвище Алейка. Позже к нему добавился патронимический суффикс -онов, что в сумме дало «сын Алейки». Форма Алеиконов — это более поздняя, книжная или канцелярская запись, где звук «й» передали буквой «и», а суффикс переосмыслили как -иконов.

Менее вероятна, но не исключена версия от канонического имени Алекей (просторечная форма имени Алексей). В этом случае фамилия прошла бы через стадию Алекей → Алейка → Алейкинов, но в реальности закрепилась форма с утратой «к» и заменой на «он» — Алеиконов. Однако против этого говорит архаичность: от имени Алексей фамилии чаще образовывались через суффикс -ев (Алексеев) или -ин (Алейкин). Вариант Алеиконов — штучный, он выбивается из стандартной модели.

Географически фамилия привязана к югу России: её фиксировали в списках мещан и крестьян Курской, Воронежской и Тамбовской губерний. Сословно носители, скорее всего, были однодворцами или государственными крестьянами — людьми, которые не знали крепостной зависимости, но жили обособленно и сохраняли диалектные особенности речи. Именно в этой среде и могли возникнуть «говорящие» прозвища по ремеслу вроде Алейка.

Таким образом, фамилия Алеиконов — не про абстрактное «имя предка», а про конкретное занятие: предок мог давить масло или торговать им на базаре. Редкость фамилии объясняется тем, что слово «алейка» вышло из обихода, а сама модель образования (с суффиксом -онов) встречается в русских фамилиях заметно реже, чем -ов или -ин.