Фамилия Алихвер — один из тех случаев, когда русская фамилия по форме, но восточная по корням. В основе лежит личное имя Алихвер, которое представляет собой тюркский или кавказский вариант арабского имени Али-Акбар (Али Великий). В тюркских языках «хвер» или «хвери» может означать «великий», «старший», отсюда и значение: «Али-старший» или «Великий Али». Имя Али в исламской традиции — зять пророка Мухаммеда, одно из самых почитаемых, поэтому сложные имена с его участием встречаются часто.

Фамилия образована по русской модели: к основе Алихвер добавили типичный для русских фамилий суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?» — Алихверов). Поэтому полная форма фамилии — Алихверов, но в быту, особенно в южных регионах России и на Кавказе, она могла сократиться до Алихвер, потеряв окончание. Такая редукция характерна для фамилий у народов, где русский суффикс -ов не является органичным: его отбрасывают, оставляя чистую основу.

Носители фамилии Алихвер, скорее всего, имеют корни среди народов Дагестана, Чечни, Ингушетии или Азербайджана. В этих регионах имя Алихвер (или Алихвери) встречается как личное, а от него уже пошли фамилии. Предок, получивший это имя, мог быть уважаемым человеком в общине, возможно, старшиной или духовным лицом, поскольку имя подчеркивает связь с авторитетом Али.

С точки зрения словообразования, фамилия редкая: в русской ономастике сочетание «восточное имя + русский суффикс» — обычное дело, но конкретно Алихвер почти не встречается в центральных областях. Если вы встретили её в документах, скорее всего, речь о выходце с Северного Кавказа или Закавказья, чья фамилия со временем адаптировалась к русскому звучанию.