Фамилия Амбешаирова — редкий случай, когда географическое происхождение почти наверняка перевешивает любые другие версии. В основе лежит не имя и не ремесло, а топоним — название села, города или местности. Суффикс «-ова» указывает на принадлежность (буквально «дочь/жена Амбешаира»), а мужская форма фамилии — Амбешаиров. Если отбросить окончание, остаётся основа «Амбешаир», которая с высокой вероятностью восходит к названию населённого пункта Амбешаир (или Амбешар) в Иране. Это село в остане (провинции) Гилян, на южном побережье Каспийского моря, недалеко от границы с Азербайджаном.

Откуда в русской фамилии иранский топоним? Вероятный путь — через азербайджанское или талышское посредничество. Гилян — историческая область, где говорят на гилянском и талышском языках, близких к персидскому. Носитель фамилии, скорее всего, происходил из семьи, переселившейся из Иранского Азербайджана или непосредственно из Гиляна в Российскую империю — возможно, в Закавказье (Баку, Ленкорань) или в горские еврейские общины Дагестана. Фамилии на «-ов» и «-ова» у народов Кавказа и Закавказья часто появлялись в XIX–XX веках при русификации документов, когда к местной основе добавляли русский суффикс.

Слово «амбешаир» (или «анбешаир») могло означать не только название села, но и что-то связанное с местностью — например, «восемь львов» (от персидского «хашт» — восемь и «шир» — лев), но это народная этимология, а не доказанный факт. Более правдоподобно, что топоним имеет досредневековое иранское происхождение, связанное с зороастрийскими или доисламскими названиями.

Фамилия Амбешаирова — одна из тех, что выдают семейную историю миграции. Её носители, вероятно, были выходцами из прикаспийского Ирана, сохранившими память о малой родине в фамилии. Встречается она сегодня в основном среди народов Дагестана (особенно горских евреев) и в азербайджанской среде. В русском контексте фамилия не имеет славянских корней, и её разбор по частям «ам-беш-аир» без знания иранской топонимики ничего не даёт.