Фамилия Амолькина — женская форма, мужская — Амолькин. Этот вариант встречается значительно реже, чем похожие по звучанию (Амелькин, Амёлькин, Омелькин), и в этом заключается главная загадка: откуда взялось «а» в начале и почему в корне «о», а не «ё»?

Разбираем словообразовательную модель. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Амолькин — «чей?» — сын или потомок человека по прозвищу или имени Амолька. Основа — Амольк-. Перед нами типичная народная форма крестильного имени. Большинство исследователей сходятся на том, что в основе лежит каноническое имя Емельян (от греческого «αιμύλιος» — льстивый, ласковый). В русских говорах имя Емельян сокращали до Емеля, Емолька, а в диалектах с сильным «аканьем» (характерным для южнорусских и среднерусских областей) безударный первый звук «е» переходил в «а». Так появилось Амолька. Вариант Амёлька (с «ё») — это та же история, но с ударением на второй слог, что встречается реже.

Вторая, менее вероятная версия — связь с диалектным словом «амоль» или «омоль». В некоторых говорах так называли моль, насекомое. Тогда прозвище Амолька могли дать человеку маленького роста, суетливому или неаккуратному, «изъеденному» заботами. Однако эта гипотеза слабая: слово «амоль» в значении «моль» фиксируется крайне редко и локально, а имя Емельян было повсеместно распространено.

Географически фамилия Амолькина привязана к регионам, где было сильно аканье: Рязанская, Тамбовская, Воронежская области, а также Поволжье. В метрических книгах XIX века фамилия встречается именно в этих губерниях. Социальный состав носителей — преимущественно крестьяне и мещане.

Если сравнивать с однокоренными: Амелькин (от Емельян с сохранением «е»), Омелькин (от украинской формы Омелько) и Амолькин — это три фонетических варианта одного корня. Ваш вариант — один из самых редких, он сохранил архаичную акающую огласовку, которая в письменных источниках фиксировалась непоследовательно. Поэтому предки носителей фамилии Амолькины — это, скорее всего, русские крестьяне, носившие в быту имя Емельян, которое местное произношение превратило в Амольку.