Фамилия Андзелис — литовская, и её основа напрямую связана с именем Ангелус (Angelus). В Литве это имя адаптировали в форму Анзель или Андзель, от которой и пошла фамилия с характерным окончанием -ис. Такая модель образования типична для литовских фамилий: к основе имени или прозвища добавляли суффикс, указывающий на принадлежность или происхождение. В данном случае окончание -ис указывает на мужской род и является стандартным для многих литовских фамилий (ср. Будрис, Каспаравичюс).

Само имя Ангелус имеет глубокие корни. Оно восходит к греческому «ангелос» (ἄγγελος) — «вестник», а в христианской традиции — «ангел». В позднелатинском языке это имя закрепилось как Angelus. Покровителем имени считается Святой Ангелус, один из первых кармелитов, прибывших в Сицилию. Согласно преданиям, его убили неверующие в Ликате в первой половине XIII века. Ангелуса почитают как мученика, его мощи сначала хранились в церкви на месте захоронения, а в 1632 году их перенесли в кармелитскую церковь. День его поминовения — 5 мая. Святой считается покровителем нескольких мест в Сицилии.

Среди известных носителей родственных фамилий — итальянский автогонщик Формулы-1 Элио де Анджелис и композитор, продюсер и сценарист Гвидо Де Анджелис. Однако их фамилии — это итальянизированная форма с приставкой «де», в то время как литовская версия Андзелис имеет более простую структуру и прямое окончание. Таким образом, предки человека с фамилией Андзелис, скорее всего, жили на территории современной Литвы и получили фамилию по имени, которое в свою очередь восходит к библейскому образу вестника.