Фамилию Ангинштейн разумнее разбирать не с корня, а с окончания. Формант -штейн — типичный немецкий компонент, означающий «камень», и встречается он в фамилиях ашкеназских евреев (вспомните Эпштейна, Гинзбурга или Штейнберга). Вторая часть, Ангин-, скорее всего, восходит к немецкому топониму Angen или личному имени. Есть и славянская версия, связывающая основу с «ангиной» (от лат. angina — «удушье») — так могли прозвать человека с хриплым голосом или болезненным видом. Но для немецкой фамилии первая версия убедительнее: Ангинштейн мог означать «камень из Ангина» — по названию местности или замка, например, Ангин в Восточной Пруссии, которая сейчас относится к Калининградской области.

Модель образования типична для немецких фамилий-топонимов: к названию места добавляли -штейн, указывая на происхождение. В Российской империи такие фамилии чаще всего встречались у еврейских переселенцев из Германии и Австро-Венгрии. В XIX веке они оседали в черте оседлости — на западе империи. Географически Ангинштейн мог закрепиться в Волынской, Подольской или Киевской губерниях, где немецкие и еврейские фамилии были обычным делом.

В отличие от массовых русских фамилий на -ов/-ев, Ангинштейн не прошёл через крестьянскую среду. Его носители, скорее всего, были ремесленниками, торговцами или аптекарями — немецкие фамилии с -штейн обычно принадлежали городским слоям. В советское время фамилия могла измениться: некоторые носители русифицировали её в Ангин или Ангинский, чтобы избежать немецкого звучания, но оригинальная форма сохранилась у потомков, эмигрировавших в Израиль или США.

Спорных версий немного. Изредка корень связывают с еврейским именем Ангин (вариант Ханина), но это маловероятно — в идише такие конструкции редки. Достоверных данных об известных носителях фамилии нет, что неудивительно для редкого онима. Если вы носитель Ангинштейн, ваши предки, скорее всего, жили в местечке на западе Российской империи, а сама фамилия — метка миграции из немецкоязычных земель.