Фамилия Анхбаяр — редкий случай в русском ономастиконе. Она не славянского, а монгольского происхождения, и её разбор требует выхода за рамки привычных моделей на -ов/-ев или -ин. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий, Анхбаяр не образована от прозвища, ремесла или крестильного имени — это напрямую перенесённое личное имя.

Основа фамилии — монгольское мужское имя Анхбаяр (монг. Анхбаяр), которое состоит из двух корней: «анх» — «первый, начальный» и «баяр» — «радость». В буквальном переводе имя означает «первая радость». Чаще всего так называли долгожданного первенца, первого ребёнка в семье, особенно если его появление стало большим счастьем для родителей. В монгольской антропонимике такие составные имена с компонентом «баяр» (радость) очень распространены: Баяр, Баярсайхан, Батбаяр.

Как фамилия Анхбаяр закрепилась в русском контексте, скорее всего, через паспортную систему. В советское время при записи национальных имён в документах их часто фиксировали в исходной форме, без добавления русских суффиксов. Это отличает фамилию от, например, бурятских или калмыцких фамилий, которые нередко оформляли по русскому образцу (Баяров, Анхаев). Здесь мы видим прямое заимствование, что указывает на относительно позднюю фиксацию или на сознательное сохранение национальной формы.

Географически фамилия Анхбаяр встречается преимущественно в регионах с монгольским или бурятским населением: в Бурятии, Калмыкии, Иркутской области, Забайкалье, а также в Монголии. В центральной России она практически не известна. Носителями фамилии, как правило, являются потомки людей, чьи предки носили это имя как личное, и лишь в XX веке оно перешло в разряд наследственных фамилий.

Словообразовательная модель здесь проста: фамилия совпадает с антропонимом-основой. Никакого суффиксального оформления нет. Это делает её уникальной для русского восприятия, но абсолютно типичной для монгольской традиции, где фамилии до недавнего времени часто были просто личными именами отцов или предков.