Фамилия Анцугай — редкая и звучит не по-русски. Её происхождение почти наверняка связано с тюркскими или кавказскими языками, а не со славянской ономастикой. В русском языке нет корня «анцуг» или «анцуг-», и фамилия не укладывается в типичные модели на -ов, -ин или -ский. Это сразу указывает на иноязычную основу.

Скорее всего, в основе лежит тюркское личное имя или прозвище Анцугай. В тюркских языках суффикс -гай/-гей часто образует имена со значением «обладающий качеством» или «склонный к чему-то». Например, имя Анцугай могло означать «крикун», «громкий» или «звонкий» — от слова «ан» (звук, голос) в некоторых тюркских наречиях. Другая версия — происхождение от кавказского имени Анцух, которое встречается у народов Дагестана (например, аул Анцух). В таком случае фамилия могла указывать на выходца из этого селения или на принадлежность к одноимённому роду.

Суффикс -ай в конце фамилии характерен для многих тюркских и монгольских языков, где он образует имена прилагательные или уменьшительные формы. Поэтому фамилию могли принести в русскую среду татары, башкиры или представители народов Северного Кавказа, переселившиеся в центральные губернии. В документах XIX века такие фамилии нередко записывали на слух, поэтому возможны варианты написания: Анцугаев, Онцугай или Анцух.

Социальный контекст прост: носители фамилии Анцугай в большинстве своём были крестьянами или казаками, так как дворянские роды с таким корнем в гербовниках не значатся. Географически фамилия встречается в единичных случаях в Краснодарском крае, Ростовской области и на Урале — там, где исторически оседали тюркоязычные переселенцы. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, был выходцем из тюркской или кавказской среды, а его прозвище — звонким, голосистым человеком или жителем конкретного горного села.