Фамилия Анцугай — одна из тех, что сразу выбивается из привычного ряда на -ов, -ин или -ский. В ней нет славянского корня, и типичные словообразовательные модели русского языка к ней не подходят. Это главная зацепка: перед нами почти наверняка иноязычная фамилия, которую принесли в русскую среду из тюркской или кавказской ономастики.

Разбираем основу. В тюркских языках продуктивен суффикс -гай/-гей, который образует имена со значением «обладающий качеством» или «склонный к действию». Корень «ан» в ряде тюркских наречий означает «звук», «голос». Сложив части, получаем прозвище Анцугай — «крикун», «громкий», «звонкий». Версия правдоподобная: в кочевой или полуоседлой среде голосистость была заметной чертой, которая легко закреплялась в прозвище. Суффикс -ай на конце тоже типичен для тюркских и монгольских языков, где он образует прилагательные или уменьшительные формы — это дополнительный аргумент в пользу тюркского происхождения.

Вторая версия уводит на Кавказ. У народов Дагестана известно селение Анцух (один из аулов в Цумадинском районе). Фамилия Анцугай могла возникнуть как указание на выходца оттуда или на принадлежность к анцухскому роду. Такие фамилии по названию села — обычное дело для горских обществ. В этом случае суффикс -ай мог появиться уже при адаптации к русскому языку, когда окончание переосмыслили на слух.

Обе гипотезы не исключают друг друга: тюркское прозвище и кавказский топоним могли дать схожий результат, а в документах XIX века фамилию записывали на слух, поэтому встречаются варианты Анцугаев, Онцугай или Анцух. Социальный контекст прост: дворянских родов с таким корнем в гербовниках нет, носители фамилии — в основном крестьяне и казаки. Географически Анцугай встречается единично в Краснодарском крае, Ростовской области и на Урале — там, где исторически оседали тюркоязычные и кавказские переселенцы. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, был выходцем из тюркской или горской среды, а его прозвище — звонким, голосистым человеком или жителем конкретного аула.