Фамилия Анюлис — редкий случай, когда географическое происхождение можно определить почти сразу. Это фамилия литовского корня, что выдает суффикс -ис. В литовском языке окончание -is — типичный показатель мужского рода в именительном падеже, и множество литовских фамилий оканчивается именно так: например, Будрис, Казлаускас, Сабонис. Русская адаптация, как правило, сохраняет это окончание без изменений, поэтому Анюлис — это не русифицированный вариант, а прямая передача литовской формы.

Основа фамилии — личное имя Анюлис. Вероятнее всего, это уменьшительно-ласкательная форма от имени Антанас (литовский аналог Антона) или, реже, от Анастас. Уменьшительный суффикс -ulis в литовском языке образует ласкательные варианты имен: Антанас → Анюлис. Таким образом, фамилия Анюлис — это патроним, образованный от прозвища или домашнего имени предка. Дословно она значит «маленький Антанас» или «сын Антанаса».

Носителями этой фамилии, скорее всего, были литовцы или жители исторических земель Великого княжества Литовского, которые в XIX веке, при введении обязательных фамилий, получили ее по имени отца или деда. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, литовские фамилии на -ис не указывали на принадлежность к конкретному сословию — их носили и крестьяне, и шляхта. Сейчас фамилия Анюлис встречается в основном в Литве, а также среди потомков литовских эмигрантов, в том числе в Латвии, Польше и России.

Интересная деталь: в русском языке фамилию Анюлис часто склоняют по образцу мужских фамилий на согласный (Анюлиса, Анюлису), хотя по литовским правилам она склоняется иначе. Но в бытовой русской речи такое склонение стало нормой, и это один из признаков, как заимствованная фамилия приживается в другой языковой среде.