Фамилия Анжиевская — это редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает любую другую версию происхождения. Перед нами типичная «топонимическая» фамилия, то есть образованная от названия места, где жил или откуда был родом её первый носитель. Суффикс -ск- прямо указывает на принадлежность к населённому пункту или региону.

Скорее всего, основа Анжиев- восходит к названию села, деревни или урочища Анжиево (или Анжиевка). Такие топонимы встречаются на западе современной Украины, в частности в исторической Галиции и на Волыни. Например, известно село Анжіївка в Тернопольской области. Если предок был оттуда, его могли записать как «Анжиевский» (для мужчины), а его жена или дочь получала форму Анжиевская. Окончание -ая — стандартное для женского рода в русской традиции фамилий на -ский/-цкий.

Мужская форма фамилии — Анжиевский. По модели образования это «дворянская» или «шляхетская» фамилия: в Польше и Речи Посполитой фамилии на -ский носили в основном представители шляхты, владевшие землёй в соответствующем поместье. Однако на практике, после разделов Польши и в XIX веке, такие фамилии массово получали и крестьяне, и мещане по месту жительства. Поэтому считать, что предки обязательно были дворянами, не стоит — скорее всего, они просто жили в деревне или фольварке с таким названием.

Корень Анж- не имеет очевидного славянского значения. Возможно, он связан с тюркским словом «анжи» (или «анджи»), что означало «охотник» или «ловчий», но эта версия слаба: фамилия слишком западно-славянская по форме, чтобы иметь прямую тюркскую основу. Более вероятно, что название села произошло от имени или прозвища основателя: например, Анжей — польская форма имени Анджей (Андрей). Тогда Анжиевский — буквально «принадлежащий Анжею», то есть потомок или человек из владений некоего Анжея.

В написании фамилии встречаются варианты: Анжиевская и Анжіевская (с украинским «і»). В дореволюционных метрических книгах могли писать через «ѣ» или «и» — это не меняет сути. Фамилия редкая, в современной России встречается единично, чаще на западе Украины и в среде потомков эмигрантов первой волны. Если вы ищете свои корни, первым делом стоит проверить карты Галиции и Волыни конца XIX века — именно там, а не в тюркских степях, с наибольшей вероятностью находится ваша родовая точка отсчёта.