Фамилия Анзиенко звучит как украинская, и это первая и самая очевидная версия. Суффикс -енко — один из самых распространённых в украинской ономастике. Он образует фамилии по модели «чей сын» или «чей потомок». В данном случае основа — Анзий или Анз. Если это так, то предок носителя фамилии был человеком по имени или прозвищу Анзий.

Что могло лежать в основе этого имени? Здесь есть две главные версии, и первая — самая вероятная. Имя Анзий могло быть производной формой от крестильного имени Онисим (в просторечии — Анисим, Онисий). В украинской народной среде имя Анисим часто редуцировалось: отпадал начальный слог, а «с» переходило в «з» под влиянием аканья или диалектного произношения. Получалось: Онисим → Онысь → Анзь → Анзий. Фамилии Анзиенко, Анзиков, Анзимиров встречаются на юге России и в восточной Украине, что подтверждает эту фонетическую цепочку.

Вторая версия, более редкая и спорная, выводит основу от польского или белорусского слова анзы (в диалектах — «анзы» или «ганзы», от немецкого «Hans» — Иоганн). В таком случае прозвище Анзий мог получить человек, имевший дело с немцами-колонистами, либо просто носивший немецкую одежду или говоривший с акцентом. Но эта гипотеза слабая: прозвище «немец» обычно давали напрямую, без такой сложной переделки, и в украинских говорах слово «анзы» не закрепилось как нарицательное.

С географической точки зрения фамилия Анзиенко тяготеет к Полтавской, Черкасской и Харьковской областям, а также к югу России (Кубань, Ростовская область), куда украинские крестьяне переселялись в XVIII–XIX веках. Это фамилия преимущественно крестьянская и казачья: носители её были людьми простого сословия, и никаких дворянских родов с такой фамилией в Российской империи не зафиксировано.

Таким образом, с большой долей уверенности можно сказать: Анзиенко — украинская фамилия, образованная от народной формы имени Онисим. Предок носителя этой фамилии, скорее всего, был крестьянином или казаком, которого в быту звали Анзий, а его дети пошли по отцу — Анзиенки.