Фамилия Аопоалаж — случай, когда написание настолько необычно, что с высокой вероятностью указывает на ошибку при переписывании, вводе в базу или прочтении рукописи. В русской ономастической традиции такое сочетание букв не встречается: ни в словарях Унбегауна, Никонова, Веселовского или Суперанской, ни в исторических документах. Уже начало «Аопо» нехарактерно для славянских языков, а окончание «-аж» (как в заимствованных «Гараж» или «Кураж») в исконных русских фамилиях почти не употребляется — оно либо искусственное, либо попало в язык через польское или украинское влияние.

Скорее всего, мы имеем дело с искажением другой, более осмысленной фамилии. Самый правдоподобный вариант — исходная форма звучала как Аполаж. В этом случае основа «Апол» восходит к греческому имени Аполлон через его просторечную форму (Апол). Такое имя давали редко, чаще в среде духовенства или городских мещан, поэтому в крестьянской среде XIX века оно было нехарактерно. Суффикс «-аж» в фамилиях — редкость, но он мог появиться под влиянием польского или украинского языков, где -аж встречается в отвлечённых существительных (ср. «віраж», «монтаж»). Если фамилия действительно Аполаж, предки могли быть выходцами из Западной Украины, Беларуси или Польши, а окончание адаптировали при русификации.

Есть и другие версии. Например, фамилия могла звучать как Аполаев или Аполаков — они образованы от того же имени Аполлон, но с привычными русскими суффиксами -ев или -ов. Или же исходная форма — Апалаж, где корень «апала» означает «упавшая», либо восходит к тюркскому «апа» (старшая сестра). В таком случае носители могли быть из южнорусских или казачьих областей, где тюркские заимствования обычны.

Ни один из этих вариантов нельзя подтвердить без проверки по дореволюционным метрическим книгам или ревизским сказкам. Если вы нашли фамилию в семейных документах, попробуйте произнести её вслух — возможно, исходное звучание подскажет верный корень. Без дополнительных данных точное происхождение остаётся загадкой, но почти наверняка это не русская фамилия в её исходном виде.