Фамилия Аопоалаж с высокой вероятностью не существует в русской ономастической традиции. Ни в одном из доступных словарей русских фамилий (Унбегаун, Никонов, Веселовский, Суперанская) подобное написание не зафиксировано. Сочетание букв «Аопо» в начале слова нехарактерно для славянских языков, а окончание «-аж» (как в фамилиях типа «Гараж» или «Кураж») встречается в основном в заимствованных или искусственных фамилиях, например, у потомков иностранцев или в результате опечатки.

Скорее всего, перед нами искажение исходной фамилии при записи, переписывании или вводе в электронную базу. В русском языке нет корня «аопо» или «алаж», который имел бы смысл. Возможные варианты происхождения: фамилия могла быть Апалаж, Аполов, Аполаев или даже Аполаков — все они могли образоваться от прозвища или имени. Например, основа «Апол» восходит к греческому имени Аполлон (через просторечную форму Апол), а суффикс «-аж» мог появиться под влиянием польского или украинского языка, где -аж — редкий, но встречающийся суффикс отвлечённых существительных (ср. «віраж», «монтаж»). Однако в фамилиях он почти не употребляется.

Если гипотеза об искажении верна, то наиболее правдоподобная версия — фамилия Аопоалаж произошла от фамилии Аполаж или Аполаев. В таком случае предки могли быть людьми, носившими имя Аполлон или его уменьшительную форму. В крестьянской среде XIX века такое имя давали редко, чаще — в среде духовенства или городских мещан. Фамилии на «-аж» встречаются у потомков выходцев из Западной Украины, Беларуси или Польши, где суффикс мог адаптироваться при русификации.

Другой вариант — фамилия могла возникнуть из-за ошибки при переписывании редкой фамилии Апалаж (от «апала» — упавшая, или от тюркского «апа» — старшая сестра). В таком случае носители фамилии могли быть выходцами из южнорусских или казачьих областей, где тюркские заимствования обычны.

Проверить написание фамилии в дореволюционных метрических книгах или ревизских сказках — единственный способ установить истину. Если вы нашли фамилию в семейных документах, попробуйте восстановить её по звучанию: произнесите вслух — возможно, исходная фамилия звучала как Аполаж, Аполаев или даже Аполаков. Без дополнительных данных точное происхождение остаётся загадкой, но почти наверняка это не русская фамилия в её исходном виде.