Фамилия Апаьмдлаит — случай, когда написание почти полностью скрывает происхождение. Перед нами, скорее всего, не русская фамилия в привычном понимании, а поздняя запись иноязычной фамилии кириллицей. В русском языке нет корней, суффиксов или моделей, которые могли бы породить такое сочетание букв. Вероятнее всего, это передача фамилии с одного из языков Кавказа, возможно, аварского или другого дагестанского, где подобные консонантные скопления встречаются часто.

Если отбросить русское окончание -т (которое могло появиться при адаптации или как часть исходной основы), остаётся основа «Апаьмдлаи». В ней можно предположить аварский или андийский компонент. Например, «Апа» может быть вариантом имени Апанди (от «эфенди» — господин, учёный) или частью сложного имени. «Мдлаи» — очень редкое сочетание; возможно, оно восходит к слову «магIарулав» (горец) или к топониму. Полной ясности нет, но географически фамилия почти наверняка привязана к горным районам Дагестана.

Словообразовательная модель здесь не русская, а горско-кавказская: фамилия образована от личного имени или прозвища отца с помощью патронимического форманта, который в русской записи мог просто исчезнуть или превратиться в конечное -т. В Дагестане фамилии часто заканчиваются на -ов, -ев, но при устной передаче через носителей другого языка окончание могло отпасть или измениться. Так что Апаьмдлаит — это, скорее всего, русифицированная запись исконной фамилии, звучавшей как Апаьмдлаилов или близко к тому.

Встречаемость фамилии крайне низкая. В открытых базах данных и справочниках она не фиксируется, что подтверждает её локальный характер. Носители, если они есть, живут, вероятно, в одном-двух сёлах высокогорного Дагестана, и фамилия могла возникнуть в XIX–XX веках при оформлении документов на русском языке. Других версий — ни из тюркских, ни из финно-угорских языков — предложить нельзя: сочетание звуков для них нетипично.