Фамилия Апездышь — редкая, и её происхождение неочевидно. Скорее всего, перед нами не привычная русская модель на -ов/-ев или -ин, а фамилия, возникшая на стыке языков или в результате искажения записи.

Самый вероятный корень — тюркский. В тюркских языках (например, в карачаево-балкарском, кумыкском или ногайском) есть корень «апиз» или «апыз» — так называют грамотного человека, знатока Корана, уважаемого старика, а иногда и просто «деда». Это слово восходит к арабскому «хафиз» (знающий Коран наизусть). Окончание «-дышь» может быть искажённым русским суффиксом принадлежности или адаптацией тюркского аффикса. В таком случае фамилия Апездышь буквально означала бы «принадлежащий Апезу» или «из рода Апеза».

Вторая версия, менее правдоподобная, — что это переосмысленная русская фамилия, записанная на слух. Например, от прозвища «Апезда» (сравните с диалектным глаголом «опездануть» — ударить, стукнуть, но это грубое просторечие). Однако для фамилии такая основа маловероятна: в русских говорах нет устойчивого прозвища с таким корнем.

Географически фамилия тяготеет к Северному Кавказу и югу России. Встречается у потомков горских евреев и у тюркоязычных народов (кумыков, ногайцев), где фамилии нередко заканчиваются на -ов/-ев, но в документах XIX — начала XX века их записывали по-разному: Апизов, Апезов, Апездышев. Форма Апездышь — это, скорее всего, застывшая в паспорте запись, где окончание -дышь заменило привычное окончание фамилии.

Если ваши предки — с Кавказа или из Астраханской губернии, то фамилия, почти наверняка, указывает на родоначальника по имени Апез (уважаемый, грамотный человек). Если же корни — из центральной России, то это, возможно, случайная описка или редкое заимствование. Точнее можно сказать только после анализа конкретной семейной истории и региона проживания.