Фамилия Апездышь сразу обращает на себя внимание непривычным окончанием. В отличие от массовых русских фамилий на -ов, -ев или -ин, эта форма словно застыла в документах в том виде, в каком её когда-то записал чиновник. Скорее всего, перед нами не исконно русская модель, а фамилия, возникшая на стыке языков или в результате искажения записи.

Самый вероятный корень — тюркский. В тюркских языках (например, в карачаево-балкарском, кумыкском или ногайском) есть слово «апиз» или «апыз». Так называют грамотного человека, знатока Корана, уважаемого старика, а иногда и просто «деда». Слово восходит к арабскому «хафиз» — тот, кто знает Коран наизусть. Окончание «-дышь» в этом случае — искажённый русский суффикс принадлежности или адаптация тюркского аффикса. Тогда фамилия Апездышь буквально означала бы «принадлежащий Апезу» или «из рода Апеза».

Вторая версия, менее правдоподобная, — что это переосмысленная русская фамилия, записанная на слух. Например, от прозвища «Апезда» (сравните с диалектным глаголом «опездануть» — ударить, стукнуть, но это грубое просторечие). Однако для фамилии такая основа маловероятна: в русских говорах нет устойчивого прозвища с таким корнем.

Географически фамилия тяготеет к Северному Кавказу и югу России. Встречается у потомков горских евреев и у тюркоязычных народов (кумыков, ногайцев), где фамилии нередко заканчиваются на -ов/-ев, но в документах XIX — начала XX века их записывали по-разному: Апизов, Апезов, Апездышев. Форма Апездышь — это, скорее всего, застывшая в паспорте запись, где окончание -дышь заменило привычное окончание фамилии. Обратите внимание на суффикс: -дышь не характерен для русской ономастики, но встречается в фамилиях, записанных с чужой речи, — как попытка передать тюркский аффикс принадлежности -лы/-ли или -ды.

Если ваши предки — с Кавказа или из Астраханской губернии, то фамилия почти наверняка указывает на родоначальника по имени Апез (уважаемый, грамотный человек). Если же корни — из центральной России, то это, возможно, случайная описка или редкое заимствование. Точнее можно сказать только после анализа конкретной семейной истории и региона проживания.