Фамилия Апиясми — редчайший случай в русском ономастиконе. Её основа не славянская, и даже не тюркская, а, скорее всего, финно-угорская или прибалтийская. Скорее всего, перед нами фамилия, записанная русскими буквами с языка коми, удмуртского или карельского.

Разбираем слово по частям. Корень «Апи» может восходить к личному имени или прозвищу. В финно-угорских языках «апи» (или «аппи») — это «дед», «старик», а в некоторых диалектах — уважительное обращение к старшему мужчине. Вторая часть — «ясми» — может быть искажённым «ясмин» (цветок) или, что правдоподобнее, вариантом суффикса принадлежности, характерного для прибалтийско-финских фамилий (ср. эстонские фамилии на -мяги, -ярви, где конечное -и указывает на родительный падеж). То есть «Апиясми» можно перевести как «из рода Апи» или «Апиев сын».

Географически фамилия, скорее всего, привязана к северо-западу России: Карелия, Вологодчина, Архангельская область, а также к финно-угорским регионам Поволжья. В XIX веке такие фамилии могли закрепиться за крестьянами или мещанами, чьи предки носили языческое или дохристианское имя Апи. Православная церковь такого имени не знает, поэтому его носитель мог получить фамилию по прозвищу уже после крещения.

Суффиксальная модель необычна: в русском языке фамилии на -ми встречаются единично и почти всегда — заимствования. В отличие от привычных -ов, -ин, -ский, окончание -ми указывает на нерусское происхождение основы, но оформлена фамилия по русскому образцу (как склоняемое существительное). Это подтверждает версию, что фамилию записывали со слов носителя, адаптируя к русской грамматике.

Альтернативная, но менее вероятная версия — искусственное происхождение. В советское время работники ЗАГСов могли придумывать фамилии для беспризорников или переселенцев, комбинируя части слов. «Апи» и «ясми» могли быть взяты из разных языков, но такой случай — исключение, а не правило. Более правдоподобно, что фамилия сохранила память о древнем родовом имени, которое в русском языке почти не встречается.