Фамилия Апогаще — редкий случай, когда написание почти полностью маскирует исходное слово. На слух она кажется иноязычной, но на деле перед нами, скорее всего, исконно русская или украинская фамилия, записанная через «акающее» произношение. Ключ к разгадке — суффикс «-ащ-». В русских фамилиях он встречается нечасто и обычно указывает на прозвище, образованное от глагола: «гуляка» — Гулящий, «работать» — Работащий. По этой же модели от глагола «погащать» (старая форма слова «погасить», то есть «тушить») могло возникнуть прозвище Погаща — тот, кто гасит, тушит. В быту такое прозвище давали пожарному, человеку, который заливал очаги, или, в переносном смысле, тому, кто «гасил» ссоры.

С течением времени Погаща превратилось в Апогаще из-за редукции первого гласного: в безударной позиции «о» звучало как «а», и это звучание закрепилось на письме. Географически фамилия почти не встречается в современных базах данных, что говорит о её крайней малочисленности. Скорее всего, она бытовала в южнорусских или украинских говорах, где «аканье» особенно сильно, и могла закрепиться в одном-двух сёлах.

Менее вероятная версия — связь с диалектным словом «поганый» (в значении «нечистый»). В этом случае прозвище Поганый могло трансформироваться в Погаща (как «бедняга» от «бедный»), а затем дать фамилию Апогаще. Однако эта гипотеза слабее: прозвища с таким значением обычно давали в форме Поганый или Поганин, а суффикс «-ащ-» для них нехарактерен. В итоге носители фамилии Апогаще — потомки человека, которого в XVI–XVII веках окрестили Погащей за его привычку тушить пожары или улаживать споры, а со временем ударение и написание сместились, сделав фамилию почти неузнаваемой.