Фамилия Апогаще — один из тех редких случаев, когда написание почти полностью скрывает исходное слово. На слух она воспринимается как что-то иноязычное, но на деле перед нами, скорее всего, исконно русская или украинская фамилия, записанная через «акающее» произношение.

Ключ к разгадке — суффикс «-ащ-» (в безударной позиции перешедший в «-ащ-»). В русских фамилиях этот суффикс встречается нечасто и обычно указывает на прозвище, образованное от глагола с помощью суффикса действующего лица: например, «гуляка» — «Гулящий», «работать» — «Работащий». По этой же модели от глагола «погащать» (старая форма слова «погасить», то есть «тушить», «гасить») могло возникнуть прозвище Погаща — тот, кто гасит, тушит что-либо. В быту такое прозвище могли дать пожарному, человеку, который заливал очаги, или, в переносном смысле, тому, кто «гасил» ссоры и конфликты. С течением времени «Погаща» превратилось в «Апогаща» из-за редукции первого гласного: в безударной позиции «о» звучало как «а», и это звучание закрепилось на письме.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным словом «поганый» (в значении «нечистый», «языческий»). В этом случае прозвище Поганый или Поганец могло трансформироваться в Погаща (как «бедняга» от «бедный»), а затем дать фамилию Апогаще. Однако эта версия слабее: прозвища с таким значением обычно давали в форме «Поганый» или «Поганин», а суффикс «-ащ-» для них нехарактерен.

Географически фамилия почти не встречается в современных базах данных, что говорит о её крайней малочисленности. Скорее всего, она бытовала в южнорусских или украинских говорах, где «аканье» особенно сильно, и могла закрепиться в одном-двух сёлах. Носители фамилии Апогаще — потомки человека, которого в XVI–XVII веках окрестили Погащей за его привычку тушить пожары или улаживать споры, а со временем ударение и написание сместились, сделав фамилию почти неузнаваемой.