Фамилия Апоирова — редкий случай, когда основа слова не поддаётся однозначной славянской этимологии. Если отбросить типичный для русских фамилий суффикс -ов (в женском роде -ова), остаётся корень «Апоир», который не встречается ни в древнерусских именах, ни в названиях ремёсел, ни в географических названиях центральной России.

Самая вероятная версия — фамилия образована от прозвища или мирского имени, которое могло иметь тюркские или иранские корни. В языках Поволжья и Средней Азии встречаются основы «апой» или «апай» — в ряде тюркских диалектов это обращение к старшей сестре или уважительное «мать». Суффикс -ир мог быть адаптацией местного окончания при переходе в русскую среду. Тогда Апоиров — потомок человека, которого звали Апоир (возможно, по имени матери или по старшей родственнице, что в патриархальной среде было необычно, но не исключено).

Менее убедительная, но возможная гипотеза — связь с греческим словом «апоиро» (απορώ — «затрудняюсь», «недоумеваю»). Однако фамилии от глаголов в такой форме почти не образовывались, а греческое влияние на русские фамилии обычно ограничивалось духовенством и южными регионами, где следов фамилии Апоирова не зафиксировано.

Географически фамилия встречается единично, в основном на юге России и в Западной Сибири, что косвенно указывает на возможное переселение носителей в ходе колонизации или ссылки. Сословная принадлежность, скорее всего, крестьянская или мещанская — дворянские роды с таким окончанием обычно оставляли больше письменных следов.

Из-за редкости фамилии однозначного ответа нет, но тюркская версия выглядит предпочтительнее: она объясняет и необычную основу, и регион бытования, и модель адаптации в русской среде.