Фамилия Апреысуйцук — один из тех случаев, когда написание полностью скрывает произношение и происхождение. Скорее всего, перед нами результат искажения при записи в паспортном столе или при переписи. В русской ономастике не существует корня «апреысуйц» или «апреысуй», а набор гласных «ы» и «у» подряд нетипичен для исконных русских фамилий.

Самая вероятная версия: фамилия Апреысуйцук — это искажённая украинская или западнорусская фамилия на -ук/-юк. Суффикс -ук/-юк в украинском языке указывает на принадлежность или родство: «чей-то сын» или «ученик кого-то». В таком случае основа могла звучать как Апресь, Апрес, Апрец или Апря. Например, исходная форма могла быть Апрещук, Апресюк или Апрясюк. При записи незнакомого слова чиновник мог ошибиться, добавив лишние буквы «ы» и «у», или же под влиянием местного говора (например, аканья и смешения гласных) фамилию записали на слух как Апреысуйцук.

Если отбросить явные описки, основа может восходить к имени или прозвищу. Например, к христианскому имени Априй (редкая форма от Април или Апрелий, от латинского aprilis — «апрельский»). Или к прозвищу Опря (от «опрятный», «опряха» — чистоплотный человек). В украинском языке есть слово «опря» (опрятность, порядок), а также фамилия Опря, от которой через суффикс -ук образуется Опрящук. Если при записи букву «о» заменили на «а» (аканье), а «щ» прочитали как «сц» или «сйц», то получилось бы Апрясйцук, а затем — Апреысуйцук.

Второй вариант — фамилия могла быть искусственно изменена при советской паспортизации 1930-х годов, когда носитель сам не мог проверить написание или диктовал неразборчиво. Тогда исходная форма могла быть, например, Апресюк (от имени Апрес, народной формы Апрелий) или Апрещук (от прозвища Апрещ — «запрещённый», но это менее вероятно).

Географически фамилия с таким набором букв нигде не зафиксирована в нормативных словарях. Это говорит о её крайней редкости и, скорее всего, единичном случае. Носителю стоит проверить архивные документы конца XIX — начала XX века: метрические книги, ревизские сказки, списки переселенцев. С высокой вероятностью исходное написание было другим — более простым и логичным для украинской или белорусской ономастики.

Коротко: Апреысуйцук — это не оригинальная форма, а ошибка записи. Правильнее всего искать корни в фамилиях на -ук/-юк с основой Апрес-, Апряс- или Опря-. Самый правдоподобный предок — человек по прозвищу Опря (опрятный) или носитель имени Апрелий (Апрель).