Фамилия Апреысуйцук — это, скорее всего, не исконное написание, а ошибка, возникшая при записи. В русской ономастике не существует корня «апреысуйц», а набор гласных «ы» и «у» подряд нетипичен для исконных русских фамилий. Перед нами, вероятнее всего, результат искажения при переписи или в паспортном столе: чиновник записал незнакомое слово на слух, добавив лишние буквы, или носитель сам неразборчиво продиктовал фамилию.

Самая вероятная версия — украинское или западнорусское происхождение. Суффикс -ук (в искажённом виде -цук) указывает на родство или принадлежность: «чей-то сын». Исходная основа могла звучать как Апрес-, Апряс- или Опря-. Например, реальная фамилия могла быть Апрещук, Апресюк или Опрящук. Если отбросить явные описки, основа восходит к имени или прозвищу. Например, к редкому христианскому имени Апрелий (от латинского aprilis — «апрельский»). Или к украинскому прозвищу Опря — от «опрятный», «опряха» (чистоплотный человек). При аканье (замене «о» на «а») и путанице при записи «щ» как «сц» или «сйц» Опрящук мог превратиться в Апрясйцук, а затем — в Апреысуйцук.

Второй вариант — искусственное искажение при советской паспортизации 1930-х годов. Тогда исходной формой могла быть, например, Апресюк (от народной формы имени Апрелий) или, менее вероятно, Апрещук (от прозвища Апрещ — «запрещённый»).

Географически фамилия с таким набором букв нигде не зафиксирована в нормативных словарях, что говорит о её крайней редкости и, скорее всего, единичном случае. Носителю стоит проверить архивные документы конца XIX — начала XX века: метрические книги, ревизские сказки, списки переселенцев. С высокой вероятностью исходное написание было другим — более логичным для украинской или белорусской ономастики. Коротко: Апреысуйцук — это не оригинальная форма, а ошибка записи. Правильнее всего искать корни в фамилиях на -ук/-юк с основой Апрес-, Апряс- или Опря-. Самый правдоподобный предок — человек по прозвищу Опря (опрятный) или носитель имени Апрелий (Апрель).