Фамилия Апсапарова — редкий случай, когда географическая привязка почти однозначна, а вот корень слова вызывает споры. Начнём с главного: ареал фамилии узок и сосредоточен в Астраханской области, Калмыкии и на прилегающих территориях Северного Кавказа, особенно в Ставрополье. Носители — потомки тюркоязычных народов: ногайцев, кумыков, татар, веками живших в этих степях. Сословно это, скорее всего, крестьяне или казаки — фамилия не звучит как дворянская или купеческая, у неё нет «книжного» суффикса -ский.

Теперь о корне. Фамилия явно тюркского происхождения, и её основа — «апсапа» или «апсаба» — скорее всего, восходит к арабскому заимствованию, которое через тюркские языки попало в русский быт. Наиболее вероятная версия: в основе лежит слово «абсаба» (или «апсаба») — в ряде тюркских наречий так почтительно называли «отца» или «старшего родственника». Тогда фамилия по сути патронимическая: «сын (или дочь) уважаемого старшего». Вторая версия, менее вероятная, связывает основу с «апсап» — диалектным названием мелкой монеты или подати (от «апса» — «доля, часть»). Если так, прозвище могло закрепиться за сборщиком налога или человеком, который вёл учёт долей. Первая версия кажется правдоподобнее, потому что прозвища по родству встречаются чаще, чем по профессии в этой модели.

Модель образования классическая для южных и восточных регионов России: тюркское прозвище плюс русский патронимический суффикс -ов/-ев (в женском роде -ова). То есть фамилия Апсапаров (а от неё — Апсапарова) возникла в среде, где тюркские имена и прозвища адаптировали под русскую грамматику. Суффикс указывает на то, что фамилия оформилась уже после вхождения в русскую культуру, скорее всего, в XIX веке, когда у крестьян и казаков массово закреплялись фамилии по отцу.

Интересная деталь, которую редко замечают: написание с двумя «п» — «Апсапарова» — встречается чаще, чем вариант с одной «п» («Асапарова»), хотя в устной речи разницы почти нет. Двойное «п» могло закрепиться под влиянием русского письма, где так часто передают тюркские гортанные звуки. Если ваш предок писался иначе, это не ошибка, а просто разнобой в документах — для таких фамилий это нормально.