Фамилия Арчаия звучит необычно для русского уха, и это сразу подсказывает её происхождение: перед нами типичная грузинская фамилия. Её выдают характерные окончания -ия (встречается в Западной Грузии, особенно в Мегрелии и Гурии) и -ая (более редкий вариант, но тоже указывает на грузинские корни). В русской передаче фамилия могла закрепиться в форме Арчаия или Арчая, но исходная грузинская основа — Арчава или Арчаиа.

Разберём корень. Скорее всего, в основе лежит грузинское слово «арча» — так называется можжевельник (древовидный, горный). В Грузии это растение распространено повсеместно, его древесину использовали в строительстве и для обрядов. Фамилия могла возникнуть как прозвище человека, жившего в можжевеловом лесу, занимавшегося его заготовкой или просто носившего имя по месту жительства — например, из села Арча или с горы Арча. Суффикс -ая/-ия в грузинских фамилиях часто указывает на принадлежность к роду или местности: Арчаия — буквально «из рода Арча» или «относящийся к можжевельнику».

Вторая версия, менее вероятная, но возможная: связь с абхазским или адыгским корнем «арч» — «козёл» (в некоторых диалектах). Однако для Грузии, где фамилия встречается в основном в западных регионах, «растительная» этимология убедительнее. В пользу этого говорит и то, что в грузинской ономастике немало фамилий от названий деревьев и кустарников.

Сословно фамилия не маркирована — её могли носить и крестьяне, и князья (в Грузии фамилии на -ия встречаются у разных слоёв). В России носителей Арчаия немного, фамилия редкая и почти всегда указывает на грузинское происхождение. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был выходцем из Западной Грузии, возможно, из горной местности, где можжевельник растёт в изобилии.