Фамилия Арчаия — верный признак грузинских корней, и это слышно сразу. Её выдают характерные окончания: -ия, типичное для Западной Грузии (особенно Мегрелии и Гурии), и более редкое -ая, которое тоже указывает на ту же ономастическую традицию. В русской передаче фамилия могла закрепиться как Арчаия или Арчая, но исходная грузинская основа — скорее всего, Арчава или Арчаиа.

Разбираем корень. Самая вероятная версия отталкивается от грузинского слова «арча» — можжевельник, древовидный горный кустарник. В Грузии он растёт повсеместно, его древесину использовали в строительстве и обрядах. Фамилия могла возникнуть как прозвище человека, жившего в можжевеловом лесу, занимавшегося его заготовкой или получившего имя по месту жительства — например, из села Арча или с горы Арча. Суффиксы -ая/-ия в грузинских фамилиях часто указывают на принадлежность к роду или местности: Арчаия буквально значит «из рода Арча» или «относящийся к можжевельнику». В грузинской ономастике немало аналогичных фамилий от названий деревьев и кустарников, что делает «растительную» этимологию самой убедительной.

Существует и другая, менее вероятная гипотеза: связь с абхазским или адыгским корнем «арч» — «козёл» (в некоторых диалектах). Но для фамилии, бытующей в западных регионах Грузии, она явно уступает первой.

Сословно фамилия не маркирована: в Грузии фамилии на -ия встречаются и у крестьян, и у князей. В России носителей Арчаия немного, фамилия редкая и почти всегда прямо указывает на грузинское происхождение. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был выходцем из Западной Грузии, возможно, из горной местности, где можжевельник растёт в изобилии.