Фамилия Арджимбаев — редкий пример, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии. Она явно тюркского происхождения, и её основа с высокой долей вероятности восходит к топониму. Скорее всего, в основе лежит название населённого пункта Арджимбай или похожее — такие названия встречаются в казахской и киргизской степной зоне. Суффикс -ев (фонетический вариант -ов после мягкого согласного) указывает на модель «из такого-то места» или «принадлежащий к роду такого-то человека».

Разбираем словообразовательную цепочку. Корень «Арджим-» — это искажённое или диалектное «Аршым» или «Аржым», что в тюркских языках может означать «можжевельник», «арча». Вторая часть «-бай» — классический тюркский титул, означающий «богач», «господин», «князь». В составе фамилий «бай» часто теряет самостоятельное значение и служит усилительным компонентом, указывая на знатность или состоятельность предка. Таким образом, исходное прозвище или имя Арджимбай могло значить «богатый, как можжевельник» (в смысле «крепкий, как арча») или «господин из местности, где растёт арча».

Есть и вторая, менее очевидная версия. В некоторых тюркских наречиях «арджим» (или «аржым») — это разновидность войлочного ковра, циновки. Тогда Арджимбай — прозвище мастера, делавшего такие ковры, или просто человека, который ими торговал. Однако эта версия слабее: топонимическая основа встречается в фамилиях этого типа гораздо чаще, чем ремесленная.

Суффикс -баев (от -бай + -ев) — один из самых распространённых в казахской и киргизской фамильной модели. Он указывает на происхождение от человека по имени или прозвищу, оканчивающемуся на «бай». В XIX веке, при массовой фиксации фамилий в Российской империи, такие окончания часто русифицировали, добавляя русский патронимический суффикс -ов/-ев. Так имя Арджимбай превратилось в фамилию Арджимбаев.

Географически фамилия тяготеет к южным регионам Казахстана и прилегающим областям Киргизии. Встречается она редко, что подтверждает её локальный, а не общетюркский характер. Носители фамилии, скорее всего, происходят из одного или нескольких соседних родов, связанных с определённым аулом или урочищем.

Таким образом, предок современного Арджимбаева — это либо человек, получивший имя в честь места, где жил (например, уроженец аула Арджимбай), либо потомок того, кого прозвали «можжевеловым богачом» за крепкое здоровье или владение землями, поросшими арчой. Однозначно сказать, что было первично — имя или прозвище, — невозможно, но топонимическая версия выглядит убедительнее.