Фамилия Арепкаткап — исключительный случай в русской ономастике. Она не упоминается ни в одном из известных словарей фамилий (Б. Унбегауна, В. Никонова, С. Веселовского), и её структура не подчиняется привычным словообразовательным моделям русского языка. В ней нет ни типичных суффиксов (-ов, -ев, -ин, -ский, -их), ни узнаваемого корня, который можно было бы связать с древнерусским прозвищем, профессией или географическим названием. По сути, перед нами искусственное или заимствованное образование, которое не могло возникнуть в крестьянской или дворянской среде до XX века.

Наиболее вероятное объяснение — фамилия Арепкаткап является результатом поздней канцелярской ошибки или намеренного искажения. В эпоху паспортизации (1920–1930-е годы) неграмотные или малограмотные носители могли продиктовать свою фамилию так, что чиновник записал её на слух, получив абсурдный набор букв. Например, исходная фамилия могла быть длинной, сложной для произношения (вроде Арепка-Ткап или Арепкат-Кап), но в итоге слилась в одно слово. Другой вариант — это опечатка в метрической книге или паспорте, которую потом не исправили, и она закрепилась в документах.

С точки зрения фонетики, «Арепкаткап» напоминает попытку передать что-то иноязычное, возможно, тюркское или кавказское, где встречаются сочетания «ареп», «кап» и «ткап». Но даже в этом случае финальная часть «ткап» нетипична: в русских фамилиях нет корня «ткап» (разве что от глагола «ткать», но тогда было бы Ткапков или Ткапкин). Единственное, что можно выделить — окончание на твёрдый согласный, что характерно для многих русских фамилий, но без суффикса это скорее исключение.

Если вы ищете корни носителей Арепкаткап, стоит обратиться к семейным архивам: старым паспортам, военным билетам, свидетельствам о рождении. Возможно, в них фамилия записана иначе (через дефис, с другой буквой), что укажет на исходный вариант. На данный же момент фамилия Арепкаткап — это лингвистическая загадка, скорее всего, порождённая бюрократической случайностью, а не древним родом.