Фамилия Арепкаткап — случай, который выбивается из привычных словообразовательных моделей русского языка. В ней нет ни типичных суффиксов (-ов, -ев, -ин, -ский, -их), ни узнаваемого корня, который можно было бы связать с древнерусским прозвищем, профессией или географическим названием. Она не упоминается ни в одном из известных словарей фамилий — ни у Б. Унбегауна, ни у В. Никонова, ни у С. Веселовского. По сути, перед нами искусственное или заимствованное образование, которое не могло возникнуть в крестьянской или дворянской среде до XX века.

Наиболее вероятное объяснение — фамилия Арепкаткап является результатом поздней канцелярской ошибки или намеренного искажения. В эпоху паспортизации 1920–1930-х годов неграмотные или малограмотные носители могли продиктовать свою фамилию так, что чиновник записал её на слух, получив абсурдный набор букв. Например, исходная фамилия могла быть длинной, сложной для произношения — вроде Арепка-Ткап или Арепкат-Кап, но в итоге слилась в одно слово. Другой вариант: опечатка в метрической книге или паспорте, которую потом не исправили, и она закрепилась в документах.

С точки зрения фонетики, «Арепкаткап» напоминает попытку передать что-то иноязычное, возможно, тюркское или кавказское, где встречаются сочетания «ареп», «кап» и «ткап». Но даже в этом случае финальная часть «ткап» нетипична: в русских фамилиях нет корня «ткап» — разве что от глагола «ткать», но тогда было бы Ткапков или Ткапкин. Единственное, что можно выделить — окончание на твёрдый согласный, что характерно для многих русских фамилий, но без суффикса это скорее исключение.

Если вы ищете корни носителей Арепкаткап, стоит обратиться к семейным архивам: старым паспортам, военным билетам, свидетельствам о рождении. Возможно, в них фамилия записана иначе — через дефис, с другой буквой, что укажет на исходный вариант. На данный же момент фамилия Арепкаткап — это лингвистическая загадка, скорее всего, порождённая бюрократической случайностью, а не древним родом.