Фамилия Армиевский — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Скорее всего, перед нами пример фамилии, образованной от названия населённого пункта или местности, а не напрямую от имени или прозвища. Модель с суффиксом -ский типична для польской, украинской и белорусской шляхты, а также для русского духовенства: она указывала на принадлежность к определённому месту.

Основу «Арми-» можно связать с несколькими версиями. Самая вероятная — топонимическая: в Польше и на Западной Украине существовали (и существуют) поселения с корнем «Арм-» или «Арми-». Например, деревня Армяны (Armiany) в Подляском воеводстве или Армянов (Armianów) в Малопольше. Житель такого села получал прозвище «Армиевский» — то есть «тот, кто из Армиева» или «из Армянова». Со временем это прозвище закрепилось как фамилия.

Вторая версия, менее распространённая, но возможная, — связь с этнонимом «армянин». В старину выходцев из Армении на Руси и в Речи Посполитой называли «арминами» или «армянами». Если предок носителя фамилии был армянином по происхождению, его могли прозвать Армий, а его потомков — Армиевскими. Однако эта гипотеза слабее: для этнической фамилии чаще использовали суффикс -ов/-ев (Арминов) или -ин (Армянин), а -ский сильнее привязан к географии.

Обратим внимание на суффикс -ев- перед -ский. Он указывает на то, что основа, скорее всего, была на мягкий согласный или на -ий: Армий → Армиевский. Это сближает фамилию с такими примерами, как Андреевский (от Андрей) или Григорьевский (от Григорий). Но в отличие от них, личное имя Армий в святцах не встречается. Значит, исходное слово было либо прозвищем, либо названием места.

В XIX веке фамилии на -ский часто давали выпускникам духовных семинарий. Семинаристы могли получить фамилию по названию родного села или по латинизированной форме фамилии наставника. Не исключено, что Армиевский — искусственная фамилия, образованная от фамилии Армиев или Армий, которую носил священник или учитель. Но документальных подтверждений этому нет.

Географически фамилия тяготеет к западным регионам бывшей Российской империи: Беларуси, Правобережной Украине, югу Польши. Встречается и в центральной России, но редко. Носителей фамилии Армиевский не было среди титулованного дворянства или купечества — это, скорее всего, фамилия сельской интеллигенции или мелкой шляхты, которая со временем рассеялась по разным губерниям.

Итог: с высокой долей вероятности фамилия Армиевский образована от названия населённого пункта вроде Армяны или Армиев. Она принадлежит к распространённому в славянском мире типу «географических» фамилий на -ский. Версия об армянском происхождении возможна, но менее убедительна из-за нехарактерной словообразовательной модели.