Фамилия Армишева — женская форма, а мужская — Армишев. Её основа, скорее всего, восходит к тюркскому корню, что указывает на нерусское происхождение рода. В русской среде такие фамилии часто закреплялись за крещёными татарами, башкирами или представителями других народов Поволжья и Урала.

Разберём имя-основу. В основе лежит личное имя Армиш, которое могло быть вариантом тюркского имени Армыш или Ермеш. В тюркских языках корень «ар» означает «мужчина, герой, смелый», а суффикс «-мыш/-миш» образует причастия прошедшего времени. Таким образом, Армиш можно перевести как «ставший мужчиной», «возмужавший» или «доблестный». Вторая версия связывает имя с арабским «Армиш» (редкая форма от «ар-Рашид» — «праведный, идущий верным путём»), но для фамилий тюркского ареала первая этимология правдоподобнее.

Суффикс -ев в фамилии Армишев типичен для русских фамилий, образованных от основ на мягкий согласный или -й. Он заменяет собой тюркский патронимический формант, адаптируя имя к русской грамматике. То есть фамилия буквально значит «сын Армиша» или «потомок Армиша».

Географически фамилия Армишева встречается в основном в Татарстане, Башкортостане, а также в Оренбургской и Челябинской областях. Это зона расселения татар и башкир, где подобные фамилии с тюркской основой и русским суффиксом — обычное явление. В дореволюционных метрических книгах Армишевы могли записываться как «новокрещены» — то есть принявшие православие татары, у которых имя Армиш постепенно вытеснялось русскими аналогами, но фамилия осталась.

Редкость фамилии в том, что она сохранила тюркский корень, почти не изменившись при переходе в русскую среду. В отличие от более распространённых Артемьевых или Артемовых, где основа явно греческая, Армишев сразу выдает этническую историю предков — скорее всего, это были люди из тюркской среды, принявшие христианство и осевшие среди русского населения.