Фамилия Аржемирский — редкий случай, когда географическая привязка почти очевидна, но точное место теряется в истории. Судя по суффиксу -ский, это типичная дворянская или шляхетская фамилия, образованная от названия населённого пункта. В основе лежит топоним — скорее всего, местечко или усадьба с корнем «Аржемир» или «Аржемирка». Такие названия встречались на землях бывшей Речи Посполитой — нынешней Беларуси, Украины и востока Польши. В польской ономастике суффикс -ский прямо указывал на владельца поместья или выходца из него, поэтому первую фамилию мог получить именно хозяин хутора, а не его работник.

Корень «Аржемир» разбирается как «Арже» и «мир». Первая часть — редкая: это может быть искажённое «аржа» (рожь), и тогда «ржаной мир» — прозвище крестьянина с ржаных полей. Но правдоподобнее версия, что перед нами адаптация польского личного имени Arżymir или Arcymir, где «arcy» означает «архи-, высший» (от лат. archi-). В таком случае Аржемирский — потомок некоего Аржемира (Архимира), носившего «высокое» имя. Вторая часть «мир» (покой, община) типична для славянских составных имён: Владимир, Яромир, Любомир. Так что имя-основа вписывается в древнюю традицию двуосновных славянских имён, хотя первая часть и нестандартна.

В польских гербовниках фамилия не фигурирует среди известных шляхетских родов — это говорит о её локальном, однодворческом происхождении. Носители могли быть обедневшими шляхтичами, осевшими на одном хуторе и взявшими фамилию по его названию. После разделов Польши в Российской империи такие фамилии часто попадали в мещанское или крестьянское сословие, теряя дворянский статус. Форма написания с буквой «е» (Аржемирский, а не Аржэмирский) — орфографическая особенность XIX века, когда «е» и «э» в фамилиях путали. Встречаются варианты Аржемирский и даже Аржэмирский, но исходный корень, скорее всего, с «е».

Найти точное село Аржемирка сегодня вряд ли удастся — такие микротопонимы исчезли вместе с хуторами в XX веке. Для носителя фамилии это означает одно: предки жили компактно на западе бывшей Российской империи, вероятно, в Минской или Волынской губернии. Если вы ищете свои корни, стоит обратить внимание на метрические книги именно этих регионов — там может сохраниться запись о крещении или браке, где фамилия ещё пишется через «иже» или с двойным «р».