Фамилия Асайши — редкий случай, когда географическое происхождение почти наверняка перевешивает все остальные версии. По своему звучанию она выбивается из славянского ряда, и это ключ к разгадке. Скорее всего, это не исконно русская фамилия, а поздний приток, связанный с Кавказом.

Самая вероятная основа — абхазское или абазинское имя Асайша. В абхазском языке это имя имеет значение «светлая душа» или «чистая душа» (аса — душа, айша — светлая/чистая). Фамилии на Кавказе часто образовывались напрямую от имени предка, без дополнительных суффиксов, поэтому Асайши — это буквально «потомок Асайши». Такая модель типична для народов Северо-Западного Кавказа, где фамилия часто представляет собой застывшее имя в исходной форме.

Русский суффикс -ов/-ев или -ин здесь не прослеживается, что подтверждает иноязычное происхождение. Если бы фамилия была образована на русской почве, мы бы ожидали форму «Асайшин» (чей? — сын Асайши). Отсутствие этого суффикса — главный маркер того, что фамилия пришла в русский язык уже в готовом виде из кавказской ономастики.

Менее убедительная версия — связь с тюркским словом «асай» (спокойный, тихий) или с арабским именем Асай, которое могло попасть в Поволжье через татар. Но форма «Асайши» с окончанием на -и для тюркских языков менее характерна, чем для абхазо-адыгских, где такие окончания встречаются часто.

Таким образом, предок человека с фамилией Асайши, скорее всего, жил на Кавказе, принадлежал к абхазскому или абазинскому народу, а его прародителя звали Асайша. В русские документы фамилия попала, вероятно, в XIX—XX веках, когда на Кавказе фиксировали фамилии по местным обычаям, без переделки на славянский лад.