Фамилия Асфур — редкий случай, когда иноязычная основа почти не затронута русской словообразовательной моделью. В ней нет типичных славянских суффиксов -ов, -ин или -ский, которые превратили бы прозвище в фамилию. Это указывает на то, что перед нами, скорее всего, фамилия позднего происхождения, зафиксированная в документах в том виде, в каком её произносили или записывали со слов носителя.

Самая вероятная версия связывает Асфур с арабским именем Асфар (أصفر), что значит «жёлтый» или «золотистый». В арабской антропонимике это имя могло указывать на цвет волос или кожи — светлый, рыжеватый оттенок. В тюркских языках, испытавших влияние арабского, форма могла видоизмениться: конечное «р» иногда переходит в более твёрдое произношение, а безударное «а» в первом слоге редуцируется. Так Асфар мог превратиться в Асфур при записи в русских метрических книгах или при паспортизации в XIX–XX веках.

Менее распространённая, но допустимая гипотеза — связь с тюркским словом «асфур» или «асфыр», которое в некоторых диалектах означает «ястреб» или «хищная птица». В этом случае фамилия могла возникнуть как прозвище зоркого, быстрого или воинственного человека. Однако арабская версия выглядит надёжнее, поскольку имя Асфар встречается в исламском именослове гораздо шире, чем редкое тюркское прозвище.

Географически фамилия Асфур встречается преимущественно на Северном Кавказе и в Поволжье — регионах с сильным тюркским и исламским влиянием. Встречается среди татар, башкир, кумыков, а также в среде горских евреев, где арабские и тюркские заимствования не редкость. Сословного барьера у фамилии нет: её могли носить как крестьяне и ремесленники, так и представители духовенства, если имя давалось при рождении.

В русской среде фамилия не склоняется по падежам, если принадлежит мужчине, и остаётся неизменной у женщин. В документах советского времени иногда встречается вариант Асфаров — с добавлением суффикса -ов по аналогии с русскими фамилиями, но исходная форма Асфур сохранилась как более аутентичная.