Фамилия Аскурава — один из тех случаев, когда структура слова сразу выдает географию и происхождение. Её выдает конечный элемент -ава: в грузинской ономастике это типичный суффикс принадлежности к роду или местности, особенно распространенный в западной Грузии, прежде всего в Мегрелии. Основа «аскур» скорее всего восходит к грузинскому слову «аскури» (ასკური) — хурма. Значит, Аскурава — это буквально «тот, кто связан с хурмой». Предок мог заниматься выращиванием или продажей этого фрукта, либо жить в местности, где хурма была распространенным деревом.

Вторая версия — редкая и сомнительная — выводит основу из тюркского «ас-кур» («белый пояс» или «светлый пояс»). Но суффикс -ава исконно грузинский, и фамилия явно сформировалась внутри грузинской языковой среды, так что тюркское влияние здесь маловероятно. По социальному происхождению Аскурава — типичная крестьянская или ремесленная фамилия: такие прозвища давали по занятию или месту жительства, без указания на дворянство.

В русском языке фамилия не склоняется, если принадлежит мужчине (Аскурава пришёл), и склоняется, если речь о женщине (у Аскуравы, к Аскураве) — хотя на практике многие носители предпочитают не склонять вовсе. Встречается фамилия редко, в основном в Грузии и среди грузинской диаспоры в России.

Особенность фамилии — её «растительный» корень, что ставит её в один ряд с другими грузинскими фамилиями от названий плодов и деревьев (например, Хурцидзе — тоже от «хурма»). Если ваш предок был Аскурава, он, скорее всего, жил в регионе Самегрело и имел дело с садами или торговлей фруктами.