Фамилия Атамбозов — редкая, с явным иноязычным корнем, который прирастили русским суффиксом -ов. Сразу слышно, что для русского уха она не своя, и это так: скорее всего, перед нами тюркская основа, адаптированная в Российской империи.

Разбираем по составу. Первая часть, «Атам», восходит к тюркскому «ата» — отец, предок. В личных именах и прозвищах этот компонент был уважительным (сравните Атабек, Атаулла). Вторая часть, «боз», сложнее. У неё два объяснения. Первое — прямое тюркское «боз» (серый, седой, а также «лёд» или «земля»). Второе, и для антропонимии оно правдоподобнее, — «боз» как диалектный вариант слова «бей» (господин, князь) или часть сложных имён со значением «крепкий, сильный». Исходное прозвище «Атамбоз» могло значить либо «седой отец» (почтенный старейшина), либо «отец-господин».

Суффикс -ов — стандартный русский патронимический показатель. В XIX — начале XX века его добавляли к иноязычным основам при оформлении фамилий у крещёных татар, башкир, ногайцев и других тюркских народов. Фамилия Атамбозов, скорее всего, пошла не от отчества напрямую, а от некалендарного имени или прозвища родоначальника, которое при переписи записали на русский лад.

В словарях русских фамилий — у Б. Унбегауна, В. Никонова — эта фамилия не фиксируется. Она относится к числу редких, не попавших в общероссийский ономастикон. Встречаемость крайне низкая, что говорит о локальном происхождении, возможно, от конкретного родового имени в одном селе или ауле. Географически фамилия привязана к регионам с тюркским населением — Поволжье, Приуралье, Казахстан или Северный Кавказ. Ударение, вероятно, падает на последний слог основы (Атамбозов), что типично для таких заимствований. Её носители — потомки людей, получивших фамилию при переписях или при переходе в православие.