Фамилия Атамбозов — редкая и неочевидная для русского уха. Её основа выглядит иноязычной, и это действительно так: скорее всего, перед нами фамилия тюркского происхождения, адаптированная русским суффиксом -ов.

Разбираем по частям. Корень «Атам» восходит к тюркскому слову «ата» — отец, предок. В составе личных имён и прозвищ «ата» часто встречается как уважительный компонент (ср. Атабек, Атаулла). Вторая часть, «боз», может иметь два объяснения. Первое — тюркское «боз» (серый, седой, а также «лёд» или «земля»). Второе, более вероятное для антропонимии, — «боз» как вариант слова «бей» (господин, князь) в некоторых диалектах или же как часть сложных имён со значением «крепкий, сильный». Таким образом, основа «Атамбоз» могла быть личным именем или прозвищем со значением «седой отец» (почтенный старейшина) или «отец-господин».

Суффикс -ов — стандартный русский патронимический показатель, который добавляли к иноязычным основам при оформлении фамилий в среде крещёных татар, башкир, ногайцев или других тюркских народов Российской империи в XIX — начале XX века. Фамилия Атамбозов, скорее всего, образована не от отчества напрямую, а от прозвища или некалендарного имени родоначальника.

Географически фамилия может быть привязана к регионам с тюркским населением — Поволжье, Приуралье, Казахстан или Северный Кавказ. Встречаемость её крайне низкая, что говорит о локальном происхождении, возможно, от конкретного родового имени в одном селе или ауле. Интересно, что фамилия не получила бытования в форме Атамбозов/Атамбозов — ударение, вероятно, падает на последний слог основы (Атамбозов), что типично для подобных заимствований.

В словарях русских фамилий (Унбегаун, Никонов) эта фамилия не фиксируется — она относится к числу редких, не попавших в общероссийский ономастикон. Её носители, скорее всего, потомки людей, получивших фамилию при переписях или при переходе в православие, когда тюркское имя-прозвище записывали на русский лад.