Фамилия Ацкверели в русском ухе звучит непривычно, но для носителя грузинского языка её смысл прозрачен почти сразу. Это классическая грузинская фамилия, образованная по одной из самых распространённых в Закавказье моделей — с помощью суффикса -ели. Этот суффикс в грузинской ономастике выполняет ту же роль, что и русское -ский: указывает на происхождение из определённого места или принадлежность к нему. Проще говоря, Ацкверели — это «тот, кто из Ацквери» или «ацкверский».

Основа фамилии — топоним Ацквери. Это село в Грузии, расположенное в регионе Самцхе-Джавахети, исторически известном как Месхетия. Название села, в свою очередь, восходит к грузинскому слову «ацква» — «ива». Таким образом, Ацквери можно перевести как «ивовое место» или «место, где растут ивы». Предок носителя фамилии, скорее всего, был выходцем именно из этого села или его окрестностей. В Грузии фамилии на -ели часто несли чёткую географическую привязку, и человек, переселившийся в другой город или регион, получал прозвание по родному селу, которое затем закреплялось за его потомками.

С точки зрения социального контекста, фамилия Ацкверели не указывает на дворянское происхождение или принадлежность к княжескому роду (для них в Грузии характерны суффиксы -дзе, -швили, а также -иани). Это фамилия крестьянская или мещанская, распространённая среди простых жителей Месхетии. В русскоязычной среде фамилия сохранила исходное грузинское произношение и написание, без попыток русифицировать её через суффиксы -ов или -ев, что говорит о сравнительно позднем появлении её носителей в России или о сохранении тесных связей с исторической родиной.

Встречаются варианты написания с одной буквой «р» — Ацквели, но форма Ацкверели более точна и чаще фиксируется в документах. Фамилия редкая даже по грузинским меркам, и её носители, вероятно, могут проследить свои корни до конкретного села в долине реки Куры, где ивы растут вдоль берегов до сих пор.