Фамилия Авагш сразу обращает на себя внимание необычным звучанием и отсутствием типичных русских суффиксов -ов, -ев или -ин. Это первый и главный ключ к разгадке: перед нами не исконно русская фамилия, а заимствованная, адаптированная русским письмом. Самая убедительная версия ведёт в армянскую ономастику. Основа здесь — армянское имя Аваг (Ավագ), которое переводится как «старший», «главный», «старейшина». В армянской традиции так называли первенца или особо уважаемого человека в общине.

Сложность в том, что фамилия обрывается на «ш», а не на привычное для армянских фамилий окончание -ян (как в Авагян). Скорее всего, мы имеем дело с усечённой формой. При записи в российских документах XIX–XX веков писцы могли на слух передать окончание как простое «ш» — либо из-за особенностей произношения в диалекте, либо по ошибке. Так фамилия Авагян или Авагянц превратилась в Авагш. Это редкий, но документированный в ономастике случай редукции фамильного суффикса.

Менее правдоподобна тюркская версия, где «аваг» якобы означает «охотник», а -ш служит аффиксом принадлежности. Она слаба потому, что тюркские фамилии в русской среде обычно оформлялись через -ов/-ев или -оглы, а не через голый суффикс -ш. Географически фамилию стоит искать там, где исторически селились армяне: в Закавказье, Краснодарском крае, Ростовской области и крупных городах вроде Москвы. Встречаемость крайне низкая — скорее всего, носители принадлежат к одной или двум родственным семьям.

Если исходить из значения «старший» или «старейшина», предки человека с такой фамилией могли занимать выборные должности в общине, быть священнослужителями или уважаемыми ремесленниками, но прямых сословных данных нет. Главное, что фамилия Авагш — это живой след армянского имени, сохранившийся в русской письменности в нестандартной, усечённой форме.