Фамилия Авасапов звучит иноязычно, но её устройство выдает типично русскую словообразовательную модель: суффикс -ов. Это сразу подсказывает, что перед нами патронимическая фамилия, образованная от имени или прозвища предка. Основа здесь — Авасап.

Самый вероятный корень — восточный, скорее всего тюркский. В тюркских языках бытует имя Авсаф, восходящее к арабскому «авсаф» (качества, свойства). В разговорной речи оно могло перейти в форму Авасап. Русский суффикс -ов добавили по стандартной модели, получив буквально «сын Авасапа». Такое смешение культур характерно для регионов, где русские веками соседствовали с татарами, башкирами или народами Кавказа: Поволжье, Южный Урал.

Выбор суффикса -ов, а не -ин, не случаен. Если бы основа была славянской и оканчивалась на -а, мы бы ждали Авасапин. Суффикс -ов указывает, что исходное имя звучало для русского уха как мужское, с твёрдым согласным на конце. Это также намекает на относительно позднее закрепление фамилии — в XVII–XIX веках, когда крестьян и мещан массово вносили в ревизские сказки. Писарь записывал прозвище или имя на слух, не вникая в этимологию.

Менее вероятна, но допустима версия от прозвища. В диалектах русского языка слово «авасап» не зафиксировано, но в разговорной речи могло возникнуть как искажение местного термина или даже звукоподражание. Однако без письменных источников это догадка.

Географически фамилия крайне редка. В современных базах данных она встречается единично, в основном в центральной России и Татарстане. Род был немногочисленным и не разветвился широко. Носители, скорее всего, происходят из крестьян или мещан.

Итог простой: Авасапов — русская фамилия с тюркской основой, образованная от личного имени Авсаф (или его варианта) по стандартной модели с суффиксом -ов. Предок, вероятно, был человеком с восточными корнями, но сама фамилия давно стала частью русского ономастикона.