Фамилия Аврменко — редкий случай, когда написание почти наверняка искажено при записи или в бытовой традиции. В украинских и русских фамилиях на -енко суффикс указывает на происхождение по отцу («чей?» — Аврменков сын), но основа «Ав-» для славянских имён нехарактерна. Скорее всего, перед нами фонетический вариант фамилии Авраменко или Овременко, где начальный гласный редуцировался, а «в» оказалось под ударением.

Если отталкиваться от наиболее вероятного источника — Авраменко, то основа — крестильное имя Аврам (древнееврейское Авраам, «отец множества»). В украинской традиции суффикс -енко образовывал фамилии в XVI–XVII веках, сначала на Левобережье и в Запорожье, обозначая потомка: Авраменко — «сын Аврама». Фамилия распространена в центральных и восточных областях Украины, а также в южнорусских регионах, куда шёл поток переселенцев.

Менее вероятная версия — связь с диалектным «овр» (овраг) или «аврити» (запирать, укрывать), но для фамилии на -енко такая основа необычна: прозвища от местности или действий обычно давали с суффиксами -ов/-ев, а не -енко. Поэтому первая гипотеза — про имя Аврам — остаётся основной, хоть и требует признать, что написание «Аврменко» — результат упрощения (выпадение гласного «а» в безударной позиции). В документах XIX века такая фамилия могла фиксироваться по-разному: Авраменко, Аврамченко, Авременко, и лишь позднее закрепилась в одном варианте.

Носители фамилии Аврменко — это, скорее всего, потомки крестьян или казаков из украинских губерний, где имя Аврам было частым. Географически фамилия встречается точечно, в основном в записях XX века, что подтверждает её вторичный, «испорченный» характер. Если вы ищете свои корни, стоит проверить обе формы — Авраменко и Аврменко — в метрических книгах и ревизских сказках: первая даст больше зацепок.