Фамилия Аврясьева — женская форма мужской фамилии Аврясьев, и её разговорная основа — Аврясь — это яркий пример того, как крестильное имя «обкатывалось» в русской народной среде. В церковном звучании имя звучало как Аверкий, но в быту прижилась более полная форма Аверьян. От него-то и пошло уменьшительное Аврян, а затем и ласкательное Аврясь — так могли звать человека дома, в кругу семьи. Суффикс -ев в фамилии работает как указатель принадлежности: «сын Авряся» или «из рода Авряся».

Менее вероятная, но любопытная версия связывает фамилию с диалектным глаголом «аврясить». В некоторых говорах так говорили о человеке, который суетится, делает что-то невпопад или капризничает. Однако прозвища от глаголов с таким значением встречаются редко, а имя Аверьян остаётся гораздо более надёжной основой.

Фамилия редкая, и это не случайно. Встречается она в основном в центральных и южных регионах России — там, где имя Аверьян было особенно популярно в крестьянской среде. Сословно происхождение почти наверняка крестьянское: фамилии на -ев, образованные от полных форм имён, у дворянства встречались редко, те предпочитали «благородные» суффиксы -ский или -цкий.

Однокоренные фамилии — Аврясин, Аврянов и куда более распространённая Аверьянов. Аврясьев же сохранила самую «обрубленную», редкую форму имени, что делает её особенно интересной для историков языка. Никаких знаменитых носителей в открытых источниках не зафиксировано.