Фамилия Аврясьева — женская форма мужской фамилии Аврясьев. В основе лежит имя или прозвище Аврясь, которое само по себе является производным. Скорее всего, это народная форма крестильного имени Аверьян (в церковном звучании — Аверкий). В русской традиции имена часто «обкатывались» до неузнаваемости: Аверьян превращался в Авряна, а затем и в Авряся. Суффикс -ев в фамилии указывает на принадлежность: «сын Авряся» или «из дома Авряся».

Менее вероятна, но возможна связь с диалектным глаголом «аврясить» — в некоторых говорах так могли сказать о человеке, который суетится, делает что-то невпопад или капризничает. Однако прозвища от глаголов с таким значением редки, и имя Аверьян выглядит более надёжной основой.

Фамилия редкая. Встречается в основном в центральных и южных регионах России, где имя Аверьян было популярно в крестьянской среде. Сословно — почти наверняка крестьянского происхождения: такие фамилии на -ев, образованные от полных форм имён, редко встречались у дворянства, которое чаще использовало «благородные» суффиксы -ский или -цкий.

Однокоренные фамилии — Аврясин, Аврянов, Аверьянов. Последняя куда распространённее, а Аврясьев сохранила более редкую, «обрубленную» форму имени, что и делает её ценной для историков языка. Никаких знаменитых носителей в открытых источниках не зафиксировано.