Фамилия Авьялова — редкая, непривычная для русского слуха и почти всегда указывает на финно-угорские корни предков. Если вы её носитель, ищите свои истоки на территории Марий Эл, Татарстана, Удмуртии или Кировской области. В исконно русской среде такая основа не встречается, а суффикс -ов выдает позднее оформление фамилии уже под русским административным или церковным влиянием.

Самая вероятная версия происхождения — от мужского имени Авьял. Скорее всего, это местный вариант марийского или удмуртского Авиал, который восходит к арабскому Абдулла («раб Аллаха»). Через тюркское посредничество имя сильно изменилось: отпал начальный слог, звуки адаптировались под местное произношение. В таком виде имя попало в метрические книги, и от него по отчеству образовалась фамилия: «чей?» — Авьялов, а для женщины — Авьялова. Мягкий знак в основе (Авьял) — типичная черта русской записи финно-угорских имён, он смягчает «в». Встречается и упрощённый вариант написания — Авялова, но это, скорее, описка писаря или следствие переписи.

Менее вероятна связь с мордовским (эрзянским) словом «аволь» — «плохой, дурной». Тогда фамилия могла быть охранительным прозвищем: родители нарекали ребёнка «Плохишом», чтобы отогнать злых духов. Но эта версия слабая: прозвище Авьял в документах почти не фиксируется, а имя Авьял как вариант Абдуллы — встречается.

Словообразование простое: основа Авьял- плюс русский патронимический суффикс -ов. Ударение, судя по аналогиям, падает на второй слог: Авьялова. Если ваши предки были крестьянами, то, скорее всего, относились к государственным (не крепостным) — это давало больше свободы, но не избавляло от тяжёлого труда. Известных исторических личностей с такой фамилией нет, что для генеалогического поиска плюс: вы почти наверняка найдёте свою прямую линию без путаницы с однофамильцами.