Фамилия Авыри — редкий случай, когда написание почти наверняка искажено при записи. Это не исконная форма, а фонетический или графический вариант другой фамилии, искажённый в документах XIX–XX веков из-за неграмотности писаря или особенностей местного говора. Разбирать её стоит именно с этой оговорки: перед нами не полная форма, а усечённый вариант.

Модель образования нестандартна. В русской ономастике почти нет фамилий на чистый суффикс «-и» без родового окончания. Если бы фамилию образовали от прозвища Авырь (гипотетически — от «ауры» или диалектного слова), в документах XVII–XVIII веков она закрепилась бы как Авырев или Авырин. Раз мы видим «Авыри», это почти наверняка «испорченное» написание фамилии на «-их» или «-ых».

Вероятнее всего, исходная фамилия — Овчинников или Овчинниковых (в северных и сибирских говорах «овчар» — овцевод). В диалектах «ов» могло редуцироваться до «а», а финаль «-и» — остаток от притяжательной формы множественного числа (как у фамилий на «-их»: Коротких, Седых). Получается цепочка: Овчи(н)никовы → Авырниковы → Авыри.

Вторая версия: основа «авыр» — диалектный вариант слова «овыр» (овраг, крутой берег) или «выр» (омут, водоворот). В таком случае фамилия указывала на место жительства предка — у оврага или у опасного места на реке. Однако эта гипотеза слабее: прозвище Авырь не зафиксировано в исторических источниках, а для топографической фамилии мы бы ожидали суффикс «-ский» или «-ин».

Географически фамилия встречается единично, в основном у потомков переселенцев из центральных губерний в Сибирь и на Урал, где диалектное аканье и редукция гласных были особенно сильны. В документах переписи населения начала XX века можно найти похожие искажения: «Абызов» вместо «Обызов», «Апарин» вместо «Опарин» и так далее.

Итог: если вы носите фамилию Авыри, ваши предки с высокой вероятностью были Овчинниковыми (овцеводами) или жили у оврага. Точное значение можно установить только по дореволюционным метрическим книгам той местности, откуда родом семья.